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Thetareihen positiv definiter quadratischer Formen. (German) Zbl 0533.10021

Sei \(n\in {\mathbb Z}\), \(q\) eine positiv definite quadratische Form auf einem \({\mathbb Q}\)-Vektorraum \(V\) der Dimension \(k\geq 3\) und \(L\) ein \({\mathbb Z}\)-Gitter auf \(V\) vom Rang \(k\). Die Arbeit untersucht Thetareihen \[ \theta(L,z)=\sum_{x\in L}\exp(2\pi iq(x)z) \] und Darstellungsanzahlen \[ r(n,L)=\#\{x\in L\mid q(x)=n\}. \] Nach Siegel (für \(k\geq 5)\) bzw. A. N. Andrianov [Math. Ann. 247, 245–254 (1980; Zbl 0407.10021)], (für \(k=4\)) ist \(\theta(L,z)\) eine Eisensteinreihe vom Gewicht \(k/2\), Stufe \(N\) und Charakter \(\chi\), wobei \(N\) und \(\chi\) durch das Gitter \(L\) bestimmt sind. Für \(k\geq 3\) sei \(E_0\) das orthogonale Komplement bezüglich des Petersson-Skalarprodukts zum Raum \(S_0\) der Spitzenformen. Verf. zeigt zunächst mit Hilfe der “Shimura-Liftung” (sein Korollar 1): \(\theta(\text{gen}\, L,z)\in E_0\) für alle \(k\geq 3\).
Weiter untersucht er die Thetareihen \(\theta(\text{spn}\, L,z)\) zu Spinorgeschlechtern und zeigt für Gitter \(L\) und \(M\) im selben Geschlecht:
\[ \theta(\text{spn}\,L,z)-\theta(\text{spn}\,M,z)\begin{cases} =0 \quad\text{für}\;k\geq 4 \quad\text{(Satz 2)},\\ \in U\quad\text{für}\;k=3 \quad\text{(Satz 3)}\end{cases}. \]
Dabei ist (für \(k=3\)) \(S_0=U\oplus U^{\perp}\), wobei die Fourierkoeffizienten \(a_n\) der Formen in \(U\) wie \(n^{1/2}\) wachsen (und nur für \(n\) in endlich vielen durch \(L\) explizit bestimmten “Ausnahme-Quadratklassen” von 0 verschieden sind), während für Formen in \(U^{\perp}\) nach der Ramanujan–Petersson-Vermutung wahrscheinlich \(| a_n| =O(n^{1/4+\varepsilon})\) gilt. Für die gesuchte Thetareihe \(\theta(L,z)\) selbst gilt im kritischen Fall \(k=3\) der folgende Satz 4:
Ist \(M\) im Spinorgeschlecht von \(L\), so gilt \(\theta(L,z)-\theta(M,z)\in U^{\perp}.\)
Die Arbeit enthält eine Reihe weiterer Ergebnisse, die hier nicht wiedergegeben werden können, insbesondere Anwendungen auf die Darstellungsanzahlen \(r(n,\text{gen}\, L)\), \(r(n,\text{spn}\, L)\) und \(r(n,L)\) sowie ihr asymptotisches Wachstum für \(n\to \infty\).
Schließlich sei noch die oben referierte (Zbl 0533.10016) Arbeit des Verf. erwähnt. Dort wird für den Fall \(k=3\), \(n\) in einer Ausnahme-Quadratklasse, gezeigt, daß die Differenz \(r(n,H_1)-r(n,H_2)\) als Produkt lokaler Faktoren berechnet werden kann. Dadurch wird \(r(n,\text{spn}\, L)\) im Prinzip berechenbar.

MSC:

11E45 Analytic theory (Epstein zeta functions; relations with automorphic forms and functions)
11E12 Quadratic forms over global rings and fields
11F27 Theta series; Weil representation; theta correspondences
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