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Nonlinear scalar field equations. I: Existence of a ground state. (English) Zbl 0533.35029
Es sei \(g=g(t)\) eine für \(t\in{\mathbb{R}}\) stetige, reellwertige Funktion mit \(g(-t)=-g(t)\). Betrachtet wird das Problem \[ (*) \quad -\Delta u = g(u) \text{ in }{\mathbb{R}}^ N; \quad u\in H^1({\mathbb{R}}^ N), \quad u\not\equiv 0. \] Dabei soll die Funktion \(g\) den folgenden zusätzlichen Bedingungen genügen: \[ \begin{aligned} -\infty &< \varliminf_{s\to 0^+} g(s)/s \leq \varlimsup_{s\to 0^+} g(s)/s = - m<0, \tag{1}\\ -\infty &\leq \varlimsup_{s\to+\infty} g(s)/s^{\ell} \leq 0, \quad \ell = (N+2)/(N-2),\tag{2}\\ G(\zeta) &= \int^\zeta_0 g(s) ds > 0 \quad\text{für ein }\zeta>0.\tag{3} \end{aligned} \] Als Hauptresultat der Arbeit wird gezeigt, daß das Differentialgleichungsproblem (*) eine Lösung u besitzt, falls die Bedingungen (1)-(3) mit \(N\geq 3\) erfüllt sind. Die Lösung u besitzt die folgenden zusätzlichen Eigenschaften: (a) \(u>0\), \(x\in {\mathbb{R}}^ N\). (b) Es gilt \(u(x)=\phi(| x|)\) mit einer monoton fallenden Funktion \(\phi\) (r). (c) u(x) gehört zur Klasse \(C^ 2({\mathbb{R}}^ N)\) und es gilt (4) \(| D^{\alpha}u(x)| \leq Ce^{-\delta | x|}\), \(x\in {\mathbb{R}}^ N\) für \(| \alpha | \leq 2\) mit positiven Konstanten C,\(\delta\).
Zum Beweis dieser Aussagen wird das Variationsproblem \((**)\quad T(w)\to Minimum, w\in H^ 1({\mathbb{R}}^ N)\), \(V(w)=1\), betrachtet, wobei T(w) und V(w) durch die Gleichungen \((5)\quad T(w)=\int_{{\mathbb{R}}^ N}| \nabla w|^ 2dx\) und \((6)\quad V(w)=\int_{{\mathbb{R}}^ N}G(w)dx\) erklärt sind und die Funktion g geeignet zu modifizieren ist. Es wird gezeigt, daß (**) eine positive, radialsymmetrische, in \(r=| x|\) monoton fallende Lösung \(v\in H^ 1({\mathbb{R}}^ N)\) besitzt und ein positiver Lagrange-Multiplikator \(\Theta\) existiert, so daß \((7)\quad -\Delta v=\Theta g(v), x\in {\mathbb{R}}^ N\) gilt. Die Funktion \(u(x)=v(x/\Theta)\) ist dann eine Lösung von (*). Unter Anwendung der Pokozaevschen Identität ergibt sich für eine beliebige Lösung z von (*) die Ungleichung \((8)\quad 0<S(u)\leq S(z),\) wobei das Funktional S(z) durch die Gleichung \((9)\quad S(z)=(1/2)T(z)-V(z)\) definiert ist.
Reviewer: E.Heinz

MSC:
35J60 Nonlinear elliptic equations
35J15 Second-order elliptic equations
35A15 Variational methods applied to PDEs
35A05 General existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000)
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