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Nonlinear scalar field equations. I: Existence of a ground state. (English) Zbl 0533.35029
Es sei $g=g(t)$ eine für $t\in{\bbfR}$ stetige, reellwertige Funktion mit $g(-t)=-g(t)$. Betrachtet wird das Problem $$ (*) \quad -\Delta u = g(u) \text{ in }{\bbfR}\sp N; \quad u\in H\sp1({\bbfR}\sp N), \quad u\not\equiv 0. $$ Dabei soll die Funktion $g$ den folgenden zusätzlichen Bedingungen genügen: $$ \align -\infty &< \varliminf\sb{s\to 0\sp+} g(s)/s \le \varlimsup\sb{s\to 0\sp+} g(s)/s = - m<0, \tag1\\ -\infty &\le \varlimsup\sb{s\to+\infty} g(s)/s\sp{\ell} \le 0, \quad \ell = (N+2)/(N-2),\tag2\\ G(\zeta) &= \int\sp\zeta\sb0 g(s) ds > 0 \quad\text{für ein }\zeta>0.\tag3 \endalign$$ Als Hauptresultat der Arbeit wird gezeigt, daß das Differentialgleichungsproblem (*) eine Lösung u besitzt, falls die Bedingungen (1)-(3) mit $N\ge 3$ erfüllt sind. Die Lösung u besitzt die folgenden zusätzlichen Eigenschaften: (a) $u>0$, $x\in {\bbfR}\sp N$. (b) Es gilt $u(x)=\phi(\vert x\vert)$ mit einer monoton fallenden Funktion $\phi$ (r). (c) u(x) gehört zur Klasse $C\sp 2({\bbfR}\sp N)$ und es gilt (4) $\vert D\sp{\alpha}u(x)\vert \le Ce\sp{-\delta \vert x\vert}$, $x\in {\bbfR}\sp N$ für $\vert \alpha \vert \le 2$ mit positiven Konstanten C,$\delta$. Zum Beweis dieser Aussagen wird das Variationsproblem $(**)\quad T(w)\to Minimum, w\in H\sp 1({\bbfR}\sp N)$, $V(w)=1$, betrachtet, wobei T(w) und V(w) durch die Gleichungen $(5)\quad T(w)=\int\sb{{\bbfR}\sp N}\vert \nabla w\vert\sp 2dx$ und $(6)\quad V(w)=\int\sb{{\bbfR}\sp N}G(w)dx$ erklärt sind und die Funktion g geeignet zu modifizieren ist. Es wird gezeigt, daß (**) eine positive, radialsymmetrische, in $r=\vert x\vert$ monoton fallende Lösung $v\in H\sp 1({\bbfR}\sp N)$ besitzt und ein positiver Lagrange-Multiplikator $\Theta$ existiert, so daß $(7)\quad -\Delta v=\Theta g(v), x\in {\bbfR}\sp N$ gilt. Die Funktion $u(x)=v(x/\Theta)$ ist dann eine Lösung von (*). Unter Anwendung der Pokozaevschen Identität ergibt sich für eine beliebige Lösung z von (*) die Ungleichung $(8)\quad 0<S(u)\le S(z),$ wobei das Funktional S(z) durch die Gleichung $(9)\quad S(z)=(1/2)T(z)-V(z)$ definiert ist.
Reviewer: E.Heinz

35J60Nonlinear elliptic equations
35J15Second order elliptic equations, general
35A15Variational methods (PDE)
35A05General existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000)