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Order and convexity in potential theory: H-cones. In collab. with Herbert Höllein. (English) Zbl 0534.31001
Lecture Notes in Mathematics. 853. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. IV, 286 p. DM 29.00; $ 13.80 (1981).
Ce livre développe successivement plusieurs aspects très actuels de la théorie du potentiel, qui sont seulement abordés dans l’ouvrage, aujourd’hui classique, de C. Constantinescu et A. Cornea [Potential theory on harmonic spaces (1972; Zbl 0248.31011)]; on ne se donne plus un faisceau harmonique, ni même surharmonique, mais des noyaux et des cônes, et les structures fondamentales sont purement algébriques.
La notion de H-cône standard (H. C. S. dans la suite) fait l’unité du livre: on montre, suivant Mokobodzki et Meyer, que le cône des fonctions excessives relatives à \((V_{\alpha})\), résolvante sous- markovienne absolument continue sur un espace mesurable, est un H. C. S. s’il existe \(f>0\) mesurable et bornée telle que \(\sup_{\alpha} V_{\alpha}f\) soit borné; réciproquement, on plonge tout H. C. S., en un sens bien précis, dans le cône des fonctions excessives relatives à une résolvante absolument continue sur un espace polonais; on le plonge, par ailleurs, dans le cône des fonctions excessives relatives à un semigroupe de Ray sur un espace compact métrisable.
Parmi les nombreux travaux d’autres auteurs qui trouvent place dans le livre, il faut au moins citer: le théorème de Hunt où une résolvante sous-markovienne est construite à partir d’un noyau borné vérifiant le principe complet du maximum; la théorie des cônes en dualité développée par Feyel et La Pradelle; le théorème de Stampacchia et ses applications à la théorie du potentiel sur un espace de Dirichlet; les travaux d’Ancona sur cette théorie.
Reviewer: R.M.Hervé

MSC:
31-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to potential theory
31D05 Axiomatic potential theory
46A40 Ordered topological linear spaces, vector lattices
60J45 Probabilistic potential theory
46A20 Duality theory for topological vector spaces
46A55 Convex sets in topological linear spaces; Choquet theory