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Padé and rational approximations to systems of functions and their arithmetic applications. (English) Zbl 0536.10028
Number Theory, Semin. New York 1982, Lect. Notes Math. 1052, 37-84 (1984).
[For the entire collection see Zbl 0523.00002.]
Cet interessant texte présente une discussion d’un problème de Mahler sur les approximants de Padé (aux paragraphes 1 et 2), un lemme de zéros pour les systèmes de fonctions satisfaisant à des équations différentielles linéaires de type fuchsiennes (au paragraphe 3) et des applications des résultats obtenus à l’étude des mesures d’irrationalité des nombres ln 2 et \(\pi\) /\(\sqrt{3}\) (paragraphes 4 et 5) et à l’étude des approximations de périodes d’intégrales elliptiques et hyperelliptiques (paragraphe 6).
On doit signaler une erreur au paragraphe 3. En effet, contrairement à ce que est affirmé à la page 53, l’évaluation de la quantité W(z) ne conduit pas à l’identité de Fuchs 3.6 dans le cas d’équations différentielles linéaires à singularités irrégulières mais à une identité modifiée [voir D. Bertrand et F. Beukers, Equations différentielles linéaires et majoration de multiplicités, à paraître aux Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., IV. Sér.]. Il s’ensuit que la démonstration du Théorème 3.14 est incorrecte, mais le Théorème lui-même est essentiellement correct.
Au paragraphe 4 (resp. 5) les auteurs démontrent une très bonne mesure d’irrationalité de ln 2 (resp. \(\pi\) /\(\sqrt{3})\). A noter que dans l’énoncé du Lemme 4.1 on doit supposer \(\lambda_ m\neq 0\), et qu’au bas de la page 72 les valeurs asymptotiques ont été simplement échangées. Enfin au paragraphe 6 les auteurs décrivent une méthode pour obtenir des mesures d’indépendance linéaire sur \({\mathbb{Q}}\) de périodes d’intégrales hyperelliptiques. Le cas elliptique conduit, en particulier, à de bonnes minorations de formes linéaires en \(\pi\), \(\omega\), \(\eta\) avec \(\omega\) période réelle de certaines courbes elliptiques et \(\eta\) la quasi-période associée.
Reviewer: P.Philippon

MSC:
11J17 Approximation by numbers from a fixed field
41A21 Padé approximation
34A30 Linear ordinary differential equations and systems, general
30C15 Zeros of polynomials, rational functions, and other analytic functions of one complex variable (e.g., zeros of functions with bounded Dirichlet integral)
34C10 Oscillation theory, zeros, disconjugacy and comparison theory for ordinary differential equations