×

Padé approximations to solutions of linear differential equations and applications to diophantine analysis. (English) Zbl 0536.10029

Number theory, Semin. New York 1982, Lect. Notes Math. 1052, 85-167 (1984).
[For the entire collection see Zbl 0523.00002.]
Dans cet interessant article les auteurs présentent leurs récents résultats sur les approximants de Padé de solutions d’équations différentielles linéaires et leurs applications à l’étude des propriétés d’approximation diophantienne de valeurs de fonctions exponentielles et algébriques. Ainsi au paragraphe 3 les auteurs démontrent de façon très élégante un lemme de zéros très précis (Théorèmes 3.1 et 3.5) pour les solutions d’équations différentielles linéaires. La démonstration du Théorème 3.5 proposée reprend une identité de Fuchs (voir le rapport précédent) érronnée dans le cas d’équations à singularités irrégulières. Main on peut la corriger en utilisant l’article de D. Bertrand et F. Beukers: Equations différentielles linéaires et majorations de multiplicités (à paraître aux Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., IV. Sér.).
Au paragraphe 4 les auteurs affinent les estimations des Théorèmes 3.1 et 3.5 dans le cas des fonctions algébriques (Théorème 4.4). Das la conjecture 5.4 l’expression ”number of distinct zeros” semble devoir être comprise comme ”number of zeros counted with multiplicities”. Les auteurs donnent également des bornes effectives pour les solutions de certaines équations diophantiennes fonctionnelles du type équations de Fermat généralisées au paragraphe 6 et équation elliptique de Weierstrass au paragraphe 7. Au paragraphe 8 les auteurs proposent sans démonstrations d’intéressants théorèmes généraux de minoration de formes linéaires de valeurs de E- et G- fonctions.
Les paragraphes suivants sont consacrés à la démonstration de cas particuliers de ces théorèmes, pour les valeurs de fonctions exponentielles (paragraphe 9) et pour les valeurs de fonctions algébriques (paragraphes 10 et 11 avec des exemples de nombres cubiques vérifiant un théorème de Roth effectif). Signalons que dans la démonstration du Théorème 9.1.’ (preuve du Lemme 9.5) apparait la condition que l’extension \({\mathbb{Q}}(\beta)\) est galoisienne sur \({\mathbb{Q}}\), qui devrait être reportée dans l’énoncé du Théorème 9.1’. Ce dernier point a été remarqué par W. Schmidt.
Reviewer: P.Philippon

MSC:

11J17 Approximation by numbers from a fixed field
41A21 Padé approximation
34A30 Linear ordinary differential equations and systems
11J04 Homogeneous approximation to one number
30C15 Zeros of polynomials, rational functions, and other analytic functions of one complex variable (e.g., zeros of functions with bounded Dirichlet integral)
34C10 Oscillation theory, zeros, disconjugacy and comparison theory for ordinary differential equations