\(K_2\)-cohomology and the second Chow group. (English) Zbl 0536.14004

Colliot-Thélène, Jean-Louis; Raskind, Wayne

Math. Ann. 270, 165-199 (1985).

Nach den bahnbrechenden Ergebnissen von A. S. Merkur’ev und A. A. Suslin [Math. USSR, Izv. 21, 307–340 (1983); translation from Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 46, No. 5, 1011–1046 (1982; Zbl 0525.18008)] und A. A. Suslin [“Torsion in \(K_2\) of fields”, LOMI preprint (1982); see also K-Theory 1, No. 1, 5–29 (1987; Zbl 0635.12015)] ist es möglich geworden, ein von Bloch stammendes Programm [S. Bloch, Bull. Am. Math. Soc. 80, 941–945 (1974; Zbl 0289.14002) und “Groupe de Brauer, Sémin., Les Plans-sur-Bex 1980”, Lect. Notes Math. 844, 76–102 (1981; Zbl 0467.12011)] weiterzuentwickeln. Es geht darum, aus den Beziehungen zwischen \(K\)-Theorie und Étalcohomologie, Schlüsse für die Struktur der Chowgruppen \(\mathrm{CH}^n(X) (= \) Zyklen) der Kodimension \(n\) auf einer glatten algebraischen Varietät \(X\), modulo rationaler Äquivalenz) zu ziehen. Genauer heißt es im Augenblick, die Torsionsuntergruppe von \(\mathrm{CH}^2(X)\) zu studieren. Zu diesem Thema, siehe die oben erwähnten Arbeiten, und S. Bloch, Compos. Math. 39, 107–127 (1979; Zbl 0463.14002); “Lectures on algebraic cycles”, Duke Univ. Math. Ser. IV (1980; Zbl 0436.14003); Ann. Sci. Ec. Norm. Supér., IV. Sér. 14, 41–59 (1981; Zbl 0524.14006); J.-L. Colliot-Thélène, Invent. Math. 71, 1–20 (1983; Zbl 0527.14011); J.-L. Colliot-Thélène and J.-J. Sansuc und C. Soulé, Duke Math. J. 50, 763–801 (1983; Zbl 0574.14004).
Im folgenden sei \(k\) ein Körper, \(\operatorname{Char} k=0,\) \(\bar k\) ein algebraischer Abschluß von \(k\); sei \(X/k\) eine glatte vollständige Varietät, und \(\bar X=X\times_k\bar k\). Beim Studium der Gruppe \(\mathrm{CH}^2(X)=H^2_{\text{Zar}}(X,\underline K_2)\) (Bloch-Quillen Formel) erscheint es wichtig, Näheres über die Galoismoduln \(H^i(\bar X,\underline K_2)\) für \(i=0,1\) zu wissen, und dies ist das Hauptthema der vorliegenden Arbeit. Es wird gezeigt: diese beiden Gruppen sind Erweiterungen einer endlichen Gruppe mit Hilfe einer teilbaren Gruppe, deren Torsion als Étalcohomologiegruppe beschrieben wird. Dabei wird Rücksicht auf die Galoisstruktur genommen. Es wird auch die natürliche Abbildung \[\mathrm{Pic}\, \bar X\otimes_Z\bar k^*\to H^1_{\text{Zar}}(\bar X,K_2)\] untersucht. Ihr Kern ist torsionsfrei. Falls \(H^2(X,{\mathcal O}_X)=0\), ist der Kern eindeutig teilbar und der Cokern ist die Summe einer endlichen Gruppe und einer eindeutig teilbaren Gruppe. Bei den Beweisen spielen sowohl Ergebnisse von Suslin eine wesentliche Rolle als auch die von Deligne bewiesenen Weil-Vermutungen – diese letzte Idee stammt von S. Bloch (vgl. die zitierte Arbeit in Compos. Math.).
Unter Benutzung der Galoiscohomologie-Version des Hilbertschen Satzes 90 für \(K_2\) werden dann Anwendungen auf die Gruppe \(\operatorname{Ker} [\mathrm{CH}^2(X)\to \mathrm{CH}^2(\bar X)]\) gegeben. Als typisches Beispiel erhalten wir: sei \(k\) ein \(p\)-adischer Körper; dann ist diese Gruppe in den folgenden Fällen endlich:
(a) \(H^1(X,\mathcal O_X) = H^2(X,\mathcal O_X) = 0\);
(b) \(H^2(X,\mathcal O_X)=0\) und \(X/k\) besitzt eine gute Reduktion.

MSC:

14C15	(Equivariant) Chow groups and rings; motives
14C35	Applications of methods of algebraic \(K\)-theory in algebraic geometry
12G05	Galois cohomology
14C05	Parametrization (Chow and Hilbert schemes)
19C99	Steinberg groups and \(K_2\)
18F25	Algebraic \(K\)-theory and \(L\)-theory (category-theoretic aspects)

Keywords:

torsion subgroup of second Chow group; \(K_2\)-cohomology; Galois module structure; Bloch-Quillen-formula; Neron-Severi group; Picard variety

Citations:

Zbl 0525.18008; Zbl 0635.12015; Zbl 0289.14002; Zbl 0467.12011; Zbl 0463.14002; Zbl 0436.14003; Zbl 0524.14006; Zbl 0512.14009; Zbl 0527.14011; Zbl 0574.14004

References:

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[26]	Soulé, C.:K-théorie des anneaux d’entiers de corps de nombres et cohomologie étale. Invent. Math.55, 251-295 (1979) · Zbl 0437.12008
[27]	Suslin, A.A.: Torsion inK 2 of fields. Preprint, Leningrad 1982. · Zbl 0502.18004
[28]	SGA 4 1/2: Cohomologie étale: les points de départ, par P. Deligne, rédigé par J.-F. Boutot (Arcata). In: Lecture Notes in Mathematics, Vol. 569. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1977