Sur les équations hyperboliques à coefficients Höldériens en t et de classe de Gevrey en x. (French) Zbl 0536.35042

Nishitani, Tatsuo

Bull. Sci. Math., II. Sér. 107, 113-138 (1983).

L’A. généralise les résultats de F. Colombini, E. De Giorgi et S. Spagnolo [Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci., IV. Ser. 6, 511-559 (1979; Zbl 0417.35049)] concernant le problème de Cauchy pour des opérateurs hyperboliques du 2d ordre, à coefficients höldériens en t, et de classe de Gevrey par rapport aux variables spatiales. L’A. considère l’opérateur de la forme \[ P=D^ 2_ t- Q(t,x,D_ x)+A(t,x,D_ x)+B(t,x,D_ x)D_ t \] où \(A(t,x,\xi)\in C^ R([0,T],S(1,s))\), \(B(t,x,\xi)\in C^ k([0,T]\), S(0,s)), la classe \(S(d,s)=\{Q(x,\xi)\in C^{\infty}({\mathbb{R}}^{2l})\}\quad o\grave u\quad Q(x,\xi)=Q_ 0(x,\xi)+Q_ 1(\xi)\) avec des évaluations de type Gevrey pour \(Q_ 0(x,\xi)\) et \(Q_ 1(\xi)\in S^ d_{1,0}\). La généralisation par rapport au travail de Colombini-De Giorgi-Spagnolo (loc. cit) est que Q(t,x,\(\xi)\) (qui chez ces auteurs dépendent seulement de t, et était un opérateur différentiel, avec \(A=B=0)\) est un opérateur pseudo-différentiel. On établit une inégalité d’énergie pour les opérateurs approximants et on donne une caractérisation de la classe de Gevrey pour laquelle le problème de Cauchy est bien posé, classe complètement déterminée par l’exposant de Hölder k des coefficients. Les calculs sont délicats et les résultats trop techniques pour être reproduits.

Reviewer: G.Gussi

MSC:

35L15	Initial value problems for second-order hyperbolic equations
35B65	Smoothness and regularity of solutions to PDEs
35S10	Initial value problems for PDEs with pseudodifferential operators
35A05	General existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000)

Keywords:

Cauchy problem; Hölder coefficients; Gevrey classes; energy inequality; well posed