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Hyperbolic systems of conservation laws. (English) Zbl 0536.35048

Systems of nonlinear partial differential equations, Proc. NATO Adv. Study Inst., Oxford/U.K. 1982, NATO ASI Ser., Ser. C 111, 25-70 (1983).
[For the entire collection see Zbl 0514.00014.]
Der Autor gibt einen Überblick über den gegenwärtigen Stand der Forschung in der Theorie der hyperbolischen Gleichungssysteme, die aus gleichgewichtsgesetzen der Kontinuumsphysik resultieren. Er betont die Gesichtspunkte, die die mathematische Theorie mit der Kontinuumsphysik verknüpfen.
Im ersten Abschnitt wird das allgemeine Problem formuliert als ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen in Divergenzform \(\sum^{m}_{j=1}D_ jF^ j(U(x))=G(U(x),x)\) für den Zustandsvektor U(x). Ist \(G\equiv 0\), heißt dieses System von Gleichgewichtsgesetzen System von Erhaltungssätzen. Im zweiten Abschnitt werden Beispiele von hyperbolischen Gleichgewichtsgesetzen aus der Kontinuumsthermomechanik angegeben, wie die hyperbolischen Gleichungen, die von den Gleichgewichtsgesetzen für Masse, Impuls, Energie von Elastizität und adiabatischer Thermoelastizität in einer und mehreren Raumdimensionen herrühren. In Abschnitt drei wird gezeigt, daß die Menge der klassischen Lösungen zu klein ist, als daß sie alle Lösngen von physikalischem Interesse enthielte. Es ist deshalb notwendig, schwache Lösungen zu betrachten. Hierfür wird im vierten Abschnitt die Klasse der Funktionen von beschränkter Variation im Sinne von Tonelli-Cesari (BV) eingeführt. Im Abschnitt fünf wird am Beispiel der Hopfschen Gleichung die Nichteindeutigkeit schwacher Lösungen gezeigt. In den Abschnitten sechs bis neun wird die Motivation dargestellt, die hinter den Zulässigkeitskriterien für ”shock”, Entropie, Viskosität und Entropie Rate steht. Es werden die Verknüpfungen zwischen den einzelnen Kriterien diskutiert. Im zehnten Abschnitt wird das Riemann Problem behandelt, und im abschließenden elften Teil wird die Lösung des Cauchy Problems in einer Raumdimension mit der ”random choice method” beschrieben.

MSC:

35L65 Hyperbolic conservation laws
35L60 First-order nonlinear hyperbolic equations
35L67 Shocks and singularities for hyperbolic equations
35D05 Existence of generalized solutions of PDE (MSC2000)
74A15 Thermodynamics in solid mechanics

Citations:

Zbl 0514.00014