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Produits finis de commutateurs dans les \(C^*\)-algèbres. (French) Zbl 0536.46044
Soient A une \(C^*\)-algèbre approximativement finie simple avec unité, \(GL_ 1(A)\) le groupe des inversibles et \(U_ 1(A)\) le groupe des unitaires de A. Nous avons défini dans un précédent travail un homomorphisme \(\Delta_ T\), appelé déterminant universel de A, de \(GL_ 1(A)\) sur un groupe abélien associé à A. Nous montrons ici que, pour qu’un élément x dans \(GL_ 1(A)\) ou dans \(U_ 1(A)\) soit produit d’un nombre fini de commutateurs, il (faut et il) suffit que \(x\in Ker(\Delta_ T).\) Ceci permet en particulier d’identifier le noyau de la projection canonique \(K_ 1(A)\to K_ 1^{top}(A).\) On établit aussi des résultats concernant les \(C^*\)-algèbres stables et les \(C^*\)-algèbres infinies simples avec unité.

MSC:
46L05 General theory of \(C^*\)-algebras
47B47 Commutators, derivations, elementary operators, etc.
46M20 Methods of algebraic topology in functional analysis (cohomology, sheaf and bundle theory, etc.)
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Full Text: DOI Numdam EuDML
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