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Une théorie de Galois imaginaire. (French) Zbl 0537.03023
Soit T une théorie du premier ordre, M un modèle arbitraire de T. Les éléments imaginaires de M sont par définition les classes ā/E où \(\bar a\in M^ n\) pour un \(n\in N\) et où E est une relation d’équivalence sur \(M^ n\) telle \(M^ n/E\) est fini (définition due à S. Shelah). Intuitivement, T élimine les imaginaires si, pour toute relation d’équivalence E sur \(M^ n\), \(M^ n/E\) est en bijection définissable avec un sous-ensemble définissable d’un \(M^ m\) (cette définition impose une petite condition sur T). Cette élimination a pour conséquence que toute formule à paramètres dans M a un plus petit sous-ensemble de définition rationnellement clos (élimination faible). L’auteur développe ici la théorie des imaginaires, donne diverses caractérisations des notions d’élimination, et montre que les théories de corps algébriquement clos de caractéristique arbitraire et la théorie des corps différentiellement clos de caractéristique zéro éliminent les imaginaires. L’auteur développe ensuite une théorie de Galois des types forts, particulièrement intéressante dans le cas où T élimine les imaginaires, et qui fournit comme cas particuliers la théorie de Galois classique et la théorie de Galois des équations différentielles de Kolchin (à moindres frais, si ce n’est conceptuels, que les démonstrations algébriques usuelles).
Reviewer: Ch.Berline

MSC:
03C60 Model-theoretic algebra
12F10 Separable extensions, Galois theory
12H05 Differential algebra
34A99 General theory for ordinary differential equations
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