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Sur les représentations \(\ell\)-adiques attachées aux formes modulaires de Hilbert. (French) Zbl 0537.10018
Soit F un corps totalement réel de degré impair, et soit \(\pi\) une représentation automorphe parabolique de \(GL_ 2({\mathbb{A}}_ F)\) correspondant à une forme modulaire de Hilbert (holomorphe) dont tous les poids sont \(\geq 2\) et de même parité. L’auteur prouve l’existence d’un système compatible \(\sigma =\{\sigma^{\lambda}\}\) de représentations continues \(\lambda\)-adiques du groupe Gal(\=F/F), tel que les composantes locales de \(\sigma\) et de \(\pi\) se correspondent à chaque place finie de F par la correspondance de Langlands-Hecke. Il en résulte, en particulier, l’égalité, pour toute courbe elliptique de Weil sur \({\mathbb{Q}}\), entre ses conducteurs analytique et géométrique. Un résultat un peu plus faible est obtenu quand F est de degré pair.
La démonstration consiste à prouver d’abord une version affaiblie du résultat, où la compatibilité entre \(\sigma\) et \(\pi\) est demandée seulement aux places finies v où \(\pi_ v\) n’est pas cuspidale extraordinaire. Dans le cas où \(F={\mathbb{Q}}\), cette version affaiblie est due à Langlands et Deligne: les représentations \(\sigma^{\lambda}\) se construisent en décomposant pour l’action des opérateurs de Hecke la cohomologie des courbes modulaires, et la démonstration repose sur la connaissance de la mauvaise réduction de ces courbes. Dans le cas où \(F\neq {\mathbb{Q}}\), les courbes modulaires sont à remplacer par des courbes de Shimura, dont l’auteur a étudié la mauvaise réduction [l’A., ibid. 296, 557-560 (1983)]. Une ”relation de congruence” donne le cas des places v où \(\pi_ v\) est une série principale, tandis que la méthode de Deligne est généralisée pour traiter les cas où \(\pi_ v\) est une série discrète. La version forte du théorème se déduit de la version affaiblie par utilisation astucieuse de la théorie du changement de corps de base pour GL(2).
Reviewer: G.Henniart

MSC:
11F70 Representation-theoretic methods; automorphic representations over local and global fields
11F41 Automorphic forms on \(\mbox{GL}(2)\); Hilbert and Hilbert-Siegel modular groups and their modular and automorphic forms; Hilbert modular surfaces
14H25 Arithmetic ground fields for curves
22E55 Representations of Lie and linear algebraic groups over global fields and adèle rings
11R39 Langlands-Weil conjectures, nonabelian class field theory
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