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Integral representations and residues in multidimensional complex analysis. Transl. from the Russian by H. H. McFaden, ed. by Lev J. Leifman. (English) Zbl 0537.32002

Translations of Mathematical Monographs, 58. Providence, R.I.: American Mathematical Society (AMS). X, 283 p. $ 68.00 (1983).
L’édition originale russe de ce livre (1979; Zbl 0445.32002) a été le premier ouvrage donnant un exposé d’ensemble des formules de représentation intégrale et de leurs applications aux fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes et à l’étude de l’opérateur \({\bar \partial}\) dans les domaines strictement pseudoconvexes de \({\mathbb{C}}^ n\). Depuis cette date est également paru, sur un sujet voisin et utilisant les mêmes méthodes, le livre de G. M. Henkin et J. Leiterer [”Theory of functions on complex manifolds” (Akademie Verlag, Berlin 1983, et Birkhäuser Verlag, Basel- Boston-Stuttgart 1984)], consacré plus particulièrement à l’inversion de l’opérateur \({\bar \partial}\) dans des espaces fonctionnels.
L’étude des problèmes d’analyse en plusieurs variables complexes s’est surtout développée dans les années 30 à 50 du point de vue des séries entières, qui a culminé dans la théorie des faisceaux analytiques cohérents (K. Oka, H. Cartan). Un certain nombre de formules de représentation intégrale étaient alors connues (A. Weil, 1935; E. Martinelli, 1938; S. Bochner), mais étaient peu utilisées. Les travaux de J. Leray [Bull. Soc. Math. Fr. 87, 81- 180 (1959; Zbl 0199.412)] et de F. Norguet [Ann. Inst. Fourier 11, 1-82 (1960; Zbl 0114.297)] donnèrent un cadre unificateur pour les formules intégrales existantes: formule de Cauchy itérée, formules d’A. Weil, de Bochner-Martinelli, de nombreuses autres formules obtenues par E. Martinelli, etc. Il manquait encore la découverte de W. Koppelman [Bull. Am. Math. Soc. 73, 373-377 (1967; Zbl 0177.111)], qui étendait les formules intégrales pour les fonctions en des formules pour les formes différentielles et l’opérateur \({\bar \partial}\), pour ouvrir la voie à un grand nombre de travaux sur la résolution de l’équation du \({\bar \partial}\) dans des espaces fonctionnels sur un ouvert strictement pseudoconvexe, par des opérateurs intégraux (plus ou moins) explicites; les premiers résultats de ce type furent ceux de G. M. Khenkin [Mat. Sb. Nov. Ser. 78(120), 611-632 (1969; Zbl 0206.090) et 82(124), 300-308 (1970; Zbl 0206.091)].
Le livre présente d’abord un exposé des principales formules intégrales: formules générales de Leray et de Koppelman, formule de Bochner-Martinelli-Koppelman, nombreuses formules particulières liées à des domaines spéciaux (chapitres I et II); le chapitre III est consacré à la théorie des résidus de Leray. Le chapitre IV rassemble des applications diverses: fonctions implicites, calcul des coefficients dans le théorème de préparation de Weierstraß, applications à l’élimination, etc. et montre que la plupart des questions classique d’analyse complexe en plusieurs variables se traitent de façon agréable par les formules de représentation intégrale. Le chapitre V est consacré aux opérateurs \({\bar \partial}\) et \({\bar \partial}_ b\); on y trouve notamment une démonstration simple du théorème d’Oka-Bremermann-Norguet.
Le livre se termine par des notes historiques brèves mais complètes, sans exclusive d’école (ce qui est assez rare pour être signalé), mais qui ne craignent pas de signaler les erreurs figurant dans certaines publications (dont une chez l’auteur de la présente revue), et par une bibliographie de plus de 400 titres, tout aussi complète. La traduction anglaise est excellente.
Reviewer: G.Roos

MSC:

32A25 Integral representations; canonical kernels (Szegő, Bergman, etc.)
32A27 Residues for several complex variables
32T99 Pseudoconvex domains
32-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to several complex variables and analytic spaces
32A30 Other generalizations of function theory of one complex variable
30C15 Zeros of polynomials, rational functions, and other analytic functions of one complex variable (e.g., zeros of functions with bounded Dirichlet integral)