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Théorèmes d’indice pour les systèmes généraux d’équations différentielles linéaires. (French) Zbl 0537.34008
Equations aux dérivées partielles hyperboliques et holomorphes, Sémin. Paris, Année 1982-83, 134-165 (1984).
[For the entire collection see Zbl 0528.00005.]
Soient V un espace vectoriel et A un anneau d’endomorphismes de V tel que tout élément non nul de A admette un indice. Soit \(T: V^ m\to V^ n\) un endomorphisme donné par une matrice à coefficients dans A. Sous des hypothèses convenables, le théorème fondamental de cet article donne des conditions pour que T ait un noyau ou un conoyau de dimension finie ou pour que T admette un indice. Ces conditions font intervenir la notion de déterminant dans un anneau non commutatif. L’A. applique ensuite le théorème fondamental au cas où V est égal à \(K[x]\), \(K[[x]]t\), \(K[x,x^{-1}],K[[x]][x^{-1}]\) (K corps de caractéristique nulle), à un espace de séries entières de Gevrey, à un espace de séries méromorphes de Gevrey, et à un espace de fonctions holomorphes; dans chaque cas, A est l’algèbre différentielle \(V[d/dx].\) Comme application des théorèmes obtenus, l’A. donne un théorème de finitude pour les séries formelles, des théorèmes de régularité et de croissance pour les solutions Gevrey de systèmes différentiels linéaires à coefficients Gevrey et un théorème de prolongement des solutions holomorphes d’un système d’équations différentielles linéaires.
Reviewer: P.Jeanquartier

MSC:
34A30 Linear ordinary differential equations and systems, general
47E05 General theory of ordinary differential operators (should also be assigned at least one other classification number in Section 47-XX)
12H05 Differential algebra