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\(C^ 1\)-conjugaison des difféomorphismes du cercle. (French) Zbl 0537.57015
Geometric dynamics, Proc. int. Symp., Rio de Janeiro/Brasil 1981, Lect. Notes Math. 1007, 814-827 (1983).
[For the entire collection see Zbl 0511.00026.]
Ce texte démontre le théorème suivant: ”Soit f un difféomorphisme du cercle classe \(C^ 3\), préservant l’orientation. On suppose que le nombre de rotation \(\alpha\) de f est irrational, et vérifie la condition arithmétique: \[ (C)\quad \exists \beta<1,\quad \exists K>0,\quad \forall p/q\in {\mathbb{Q}}/{\mathbb{Z}},\quad | \alpha -p/q| \geq K/q^{2+\beta}; \] alors, il existe un difféomorphisme du cercle h de classe \(C^ 1\), préservant l’orientation, qui conjugue f à la rotation \(R_{\alpha}\) d’angle \(\alpha:f=hR_{\alpha}h^{-1}.''\) Avec le corollaire: ”Si de plus, f est un difféomorphisme de classe \(C^{\infty}\), et \(\alpha\) vérifie la condition arithmétique plus forte: \[ (C')\quad \exists \beta<\sqrt{5}-2,\quad \exists K>0,\quad \forall p/q\in {\mathbb{Q}}/{\mathbb{Z}},\quad | \alpha -p/y| \geq K/q^{2+\beta} \] alors h est aussi un difféomorphisme de classe \(C^{\infty}.''\) Il s’agit d’une conjecture d’Arnold, démontrée par M. R. Herman mais de façon plus complexe.
Reviewer: C.Mira

MSC:
57R50 Differential topological aspects of diffeomorphisms
37-XX Dynamical systems and ergodic theory
58C25 Differentiable maps on manifolds
57R35 Differentiable mappings in differential topology