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The Helmholtz conditions revisited. A new approach to the inverse problem of Lagrangian dynamics. (English) Zbl 0537.70018
Es werden notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz einer nicht singulären Matrix \(\alpha_{ij}(t,q,\dot q),\) für die \(\alpha_{ij}(\ddot q^ j-f^ i)\equiv d/dt(\partial L/\partial \dot q^ i)-\partial L/\partial q^ i\) gilt, für den allgemeinen Fall abgeleitet. Für ein lineares Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung hat der Verf., zusammen mit E. Engels und L. Y. Bahar, von den Helmholtz’schen Bedingungen ausgehend, ein unendliches algebraisches System von notwendigen und hinreichenden Bedingungen erstellt [Int. J. Eng. Sci. 20, 55–66 (1982; Zbl 0477.34006)]. Eine Erweiterung dieser Methode führt auch für den allgemeinen Fall der Bewegungsgleichungen auf ein unendliches algebraisches System. Es erscheint jedoch unmöglich, eine allgemeine Formel für die Funktionen \(f^ i\) angeben zu können, für die \(\alpha_{ij}\) konstruiert werden könnte. Schon der einfache Fall mit \(n=2\), der von J. Douglas [Solution of the inverse problem of the calculus of variations, Trans. Am. Math. Soc. 50, 71–128 (1941; Zbl 0025.18102, JFM 67.1038.01)] vollständig gelöst wurde, führt zu erheblichen analytischen Komplexitäten. Das unendliche algebraische Gleichungssystem hat den praktischen Vorteil, daß man verhältnismäßig leicht die Fälle erkennen kann, wo eine Lagrange Funktion nicht existiert.
Reviewer: F. Selig

MSC:
70H03 Lagrange’s equations
70H25 Hamilton’s principle
49S05 Variational principles of physics
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