×

zbMATH — the first resource for mathematics

À propos d’une conjecture arithmétique sur le groupe de Chow d’une surface rationnelle. (Avec un paragraphe par Jean-Louis Colliot- Thélène). (French) Zbl 0538.14002
Sei X eine rationale Fläche über einem globalen Körper k und \(A_ 0(X)\) ihre nullte Chow-Gruppe. (”X ist rational” heißt, daß der Funktionenkörper von \(X\otimes_ kk\) rein transzendent über \(\bar k\) ist.) Es geht um Kern und Kokern der natürlichen Abbildung \(A_ 0(X)\to \coprod_{v}A_ 0(X_ v),\) wo v die Stellen von k durchläuft. Man hat Monomorphismen \(\Phi: A_ 0(X)\to H^ 1(k,S), \Phi_ v: A_ 0(X_ v)\to H^ 1(k_ v,S)\) gemäß der Arbeit der Autoren in Duke Math. J. 48, 421-447 (1981; Zbl 0479.14006), demgemäß ein Diagramm mit exakten Zeilen: \[ \begin{tikzcd} 0 \ar[r] & * \ar[r]\ar[d,"\Phi_0"] & A_0(X) \ar[r]\ar[d,"\Phi"] & \coprod_v A_0(X_v) \ar[r]\ar[d,"\coprod\Phi_v"] & * \ar[r]\ar[d,"\Phi_1"] & 0 \\ 0 \ar[r] & * \ar[r] & H_1(k,S) \ar[r] & \coprod_v H^1(k_v,S) \ar[r] & \operatorname{Hom} (H^1(k,\hat{S}),\mathbb{Q}/bbfZ) & \rlap{\,.}\end{tikzcd} \] Hier ist \({\hat S}=Pic(X\otimes \bar k)\), und \(S=Hom_{{\mathbb{Z}}}(\hat S,\bar k^*)\), und \(H^ 1(k,\cdot)\) die Galois-Cohomologie, und *’e bezeichnen Kerne bzw. Kokern. - Für relativ spezielle Klassen von rationalen Flächen wird eine in der zitierten Arbeit aufgestellte Vermutung bewiesen, nämlich daß \(\Phi_ 0\) bijektiv und \(\Phi_ 1\) injektiv ist. In der Arbeit wird darauf hingewiesen, daß die Autoren o. a. Vermutung gemeinsam mit P. Swinnerton-Dyer in ”Intersections de deux quadriques et surfaces de Chatelet” [C.R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 298, 377-380 (1984)] für Klassen von Flächen bewiesen haben, die die Beispiele der vorliegenden Arbeit größtenteils umfassen.
Reviewer: F.Ischebeck

MSC:
14C15 (Equivariant) Chow groups and rings; motives
14M20 Rational and unirational varieties
11R34 Galois cohomology
14J25 Special surfaces
14G25 Global ground fields in algebraic geometry
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: EuDML