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An elementary probabilistic computation of the Poisson kernel for the \(n=2\) and 3 Euclidean ball. (English) Zbl 0539.60083

On montre comment obtenir directement le noyau de Poisson à partir de la formule abstraite \^f(x)\(=E_ x(f(b_{\omega}(T)))\) qui représente la solution du problème de Dirichlet en terme de la donnée au bord f et du mouvement brownien \(b_{\omega}\) stoppé au bord. La méthode est élémentaire et utilise comme outil fondamental la martingale exponentielle de MacKean \(E \exp(\alpha \int^{t}_{0}\phi db_{\omega})=\exp((-\alpha^ 2/2)\int^{t}_{0}\phi^ 2ds)\) pour toute fonction sûre \(\phi\). Ceci permet d’éviter le calcul de la loi jointe de \(b_{\omega}\) et du temps \(T_{\omega}\).

MSC:

60J65 Brownian motion
60G44 Martingales with continuous parameter
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