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Regular planar graphs with faces of only two types and shortness parameters. (English) Zbl 0541.05037
Für einen Graphen G sei h(G) die Länge enes maximalen Kreises und v(G) die Anzahl seiner Ecken. Ist \({\mathcal G}\) eine beliebige Familie von Graphen, so heißt \(\rho({\mathcal G}):=\lim \inf(h(G)/v(G))\) der Längenkoeffizient (shortness coefficient) und \(\sigma({\mathcal G}):=\lim \inf(\log h(G)/\log v(G))\) der Längenexponent (shortness exponent) von \({\mathcal G}\). Der Autor untersucht den Längenexponenten in der Klasse \(G_ r(p,q)\), \(p<q\) der r-valenten, planaren Graphen, deren Flächen sämtlich entweder p-gons oder q-gons sind. Im Falle \(r=3\), \(p=4\) q ungerade, ist \(\rho(G_ 3(4,5))=1\) und nach einem Resultat von H. Walther, über das Problem der Existenz von Hamilton-Kreisen in planaren, regulären Graphen [Math. Nachr. 39, 277-296 (1969; Zbl 0169.264)] gilt \((G_ 3(5,q))<1\) für \(q\geq 9\). Für den verbleibenden Fall \(q=7\) zeigt der Autor \(\rho(G_ 3(5,7))<1.\) Dieses Resultat ergibt zugleich eine Verbesserung von \(\rho(G_ 3(5,9))\) und ein einfacheres Beispiel als das von Walther konstruierte. Im Falle \(r=4\) zeigt der Autor für den Längenexponenten \(\sigma(G_ 4(3,q)<1\) für alle \(q\geq 12\). Dieses Resultat verbessert ein Ergebnis von J. Harant über den Shortness Exponent regulärer Polyedergraphen mit genau zwei Typen von Elementarflächen [Thesis A, Ilmenau Institute of Technology (1982)]. Weitere Resultate betreffen den Längenexponenten von Klassen zyklisch- s-kantenzusammenhängender Graphen. Sei \({\mathcal C}(s)\) die Klasse der zyklisch s-zusammenhängenden Graphen und sei \(P_ r(t)\) die Klasse der r-valenten planaren Graphen mit höchstens t verschiedenen Typen von Flächen. Der Autor zeigt \(\sigma({\mathcal C}(6)\cap P_ 4(2))<1\) und \(\sigma({\mathcal C}(6)\cap G_ 5(3,q))<1\) für \(q\geq 14\), \(q\not\equiv 0\) mod 3.
Reviewer: F.Hering

MSC:
05C38 Paths and cycles
05C35 Extremal problems in graph theory
05C10 Planar graphs; geometric and topological aspects of graph theory
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