Minimal models for elliptic curves with complex multiplication. (English) Zbl 0541.14010

Gross, Benedict H.

Compos. Math. 45, 155-164 (1982).

Soient F un corps de nombres, R son anneau d’entiers et E une courbe elliptique définie sur F: la fibre à l’origine du fibré cotangent de son modèle de Néron définit naturellement une classe d’idéaux fractionnaire \(c_ E\) de R. On peut aussi comparer une forme différentielle invariante \(\omega\) aux différentielles \(\omega_ v\) des modèles de Weierstrass locaux minimaux pour les différentes places non archimédiennes; ceci donne aussi un idéal de R. L’A. relie d’abord \(c_ E\) à l’idéal précédent et tire diverses conséquences sur l’existence d’un modèle de Weierstrass global de E: il traite notamment le cas de la ”\({\mathbb{Q}}\)-courbe A(p)” qu’il a introduite dans ”Arithmetic on elliptic curves with complex multiplication” [Lecture Notes Math. 776 (1980; Zbl 0433.14032].

Reviewer: R.Gillard

MSC:

14E30	Minimal model program (Mori theory, extremal rays)
14H45	Special algebraic curves and curves of low genus
14K22	Complex multiplication and abelian varieties
14H52	Elliptic curves

Keywords:

minimal models; elliptic curves with complex multiplication; Néron model; differential of Weierstraß model

Citations:

Zbl 0433.14032

References:

[1]	M. Deuring : Die Klassenkörper der Komplexen Multiplication . Ency. der Math. Wiss. Band I, 2. Teil, Heft 10, Teil II (1958). · Zbl 0123.04001
[2]	B. Gross : Arithmetic on elliptic curves with complex multiplication . Springer Lecture Notes 776 (1980). · Zbl 0433.14032 · doi:10.1007/BFb0096754
[3]	S. Lang : Elliptic functions . Reading: Addison-Wesley (1973). · Zbl 0316.14001
[4]	A. Néron : Modèles minimaux des variétés abéliennes sur les corps locaux et globaux . IHES Publ. Math. No. 21 (1964) 361-483. · Zbl 0132.41403 · doi:10.1007/BF02684271
[5]	J.T. Tate : Algorithm for determining the type of singular fiber in an elliptic pencil . Springer Lecture Notes 476 (1975) 33-52. · Zbl 1214.14020 · doi:10.1007/BFb0097582