Replaceable nets and improper collineations. (English) Zbl 0541.51002

Havel, V.

Commentat. Math. Univ. Carol. 24, 507-517 (1983).

Sei \(J=({\mathcal P},{\mathcal L})\) eine reguläre Inzidenzstruktur (Punktmenge \({\mathcal P}\), Geradenmenge \({\mathcal L})\). Weist J eine schwache Parallelstruktur mit der Äquivalenzrelation \(\|\) auf, so heißt \[ \#({\mathcal L}/\|):\#\{\{x\in {\mathcal L}\quad | \quad x=a\bigvee x\cap a=\emptyset \}\quad | \quad a\in {\mathcal L}\} \] der Grad von J. Eine Inzidenzstruktur J mit starker Parallelstruktur heißt Gewebe (net), wenn ihr Grad \(\geq 3\) ist. Besitzen in einem Gewebe alle \(a,b\in {\mathcal L}\) dieselbe Kardinalzahl, dann heißt diese die Ordnung des Gewebes. Sind \(J({\mathcal P},{\mathcal L})\) und \(J'({\mathcal P}',{\mathcal L}')\) zwei Inzidenzstrukturen, dann heißt die bijektive Abbildung \(\sigma: {\mathcal P}\to {\mathcal P}'\) Kollineation, wenn sowohl \(\sigma\) als \(\sigma^{-1}\) die Verbindung zweier Punkte erhalten. Eine Kollineation heißt eigentlich, wenn für jedes \(a\in {\mathcal L}\) folgt \(\{\sigma(X) | X\in a\}\subset {\mathcal L}',\) andernfalls uneigentlich. Eigentliche Kollineationen heißen auch Isomorphismen. Ein Gewebe heißt ersetzbar (replaceable), wenn die Identität \(id_{{\mathcal P}}\) auf \({\mathcal P}\) eine uneigentliche Kollineation von N auf ein anderes Gewebe \(N^.=({\mathcal P},{\mathcal L}^.)\) mit \({\mathcal L}^.\neq {\mathcal L}\) ist. \(N^.\) ist dann ein Ersatz-Gewebe (replacing net) von N. Verf. zeigt:
1a) Existiert eine uneigentliche Kollineation eines Gewebes \(N=({\mathcal P},{\mathcal L})\) auf ein anderes Gewebe, so ist N ersetzbar.
b) Existiert eine uneigentliche Kollineation einer Inzidenzstruktur \(J({\mathcal P},{\mathcal L})\) auf eine Inzidenzstruktur \(J'=({\mathcal P}',{\mathcal L}'),\) dann ist \(id_{{\mathcal P}}\) eine uneigentliche Kollineation von J auf eine geeignet gewählte Inzidenzstruktur (\({\mathcal P},{\mathcal L}^.)\) mit \({\mathcal L}^.\neq {\mathcal L}.\)
2a) Ein Gewebe läßt genau dann eine uneigentliche Kollineation zu, wenn es ein isomorphes Ersatz-Gewebe zuläßt. b) Eine Inzidenzstruktur \(J=({\mathcal P},{\mathcal L})\) läßt genau dann eine uneigentliche Autokollineation zu, wenn \(id_{{\mathcal P}}\) eine uneigentliche Kollineation von J auf eine zu J isomorphe Inzidenzstruktur \(J^.=({\mathcal P},{\mathcal L}^.)\) ist.
Ein Gewebe heißt Ostrom-Gewebe der Dimension 2 und vom Grad k, wenn es zum Gewebe \[ F_{(k-1)}=(F^ 4,\{\{(x_ 1,x_ 2,ux_ 1+v_ 1,x_ 2,ux_ 2+ \]
\[ v_ 2)| x_ 1,x_ 2\in F\}| u,v_ 1,v_ 2\in F\}U\{\{(a_ 1,y_ 1,a_ 2,y_ 2)| y_ 1,y_ 2\in F\}| a_ 1,a_ 2\in F\} \] isomorph ist. Under andern Sätzen beweist Verf. das Theorem: Ein Gewebe vom Grad k und der Ordnung \((k- 1)^ 2\) ist genau dann ersetzbar, wenn es ein Ostrom-Gewebe vom Grad k und der Dimension 2 ist. Daher ist ein Gewebe vom Grad k und der Ordnung \((k-1)^ 2\) genau dann ersetzbar, wenn es eine uneigentliche Autokollineation zuläßt.

Reviewer: W.Ströher

MSC:

51A10

Homomorphism, automorphism and dualities in linear incidence geometry

Keywords:

replacing net