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Idéaux de germes d’opérateurs différentiels à une variable. (French) Zbl 0542.14008

Dans cet article, nous avons essayé de décrire de manière très explicite un idéal à gauche I de l’anneau \({\mathcal D}\) des germes d’opérateurs différentiels analytiques d’une variable complexe; pour cela nous utilisons essentiellement un théorème de division adapté à \({\mathcal D}\). Nous commençons par donner une présentation de I de la forme \(0\to {\mathcal D}^{q-p}\to {\mathcal D}^{q-p+1}\to I\to 0,\) puis deux générateurs canoniques \(F_ p\) et \(F_ q\) de \({\mathcal D}\). Ensuite nous associons à I le couple \(E(I)\rightleftharpoons^{u}_{v}F(I)\) formé par les solutions analytiques de \({\mathcal D}/I\) dans un disque coupé, les solutions microfonctions, le morphisme canonique et le morphisme de variation; et nous démontrons que ce couple détermine l’idéal I. Nous démontrons alors que la catégorie des \({\mathcal D}\)-modules holonomes à singularité régulière est isomorphe à la catégorie des couples \(E\rightleftharpoons^{u}_{v}F\) ce qui nous permet de retrouver le théorème de structure de L. Boutet de Monvel; cela grâce à une idée de B. Malgrange. Enfin, nous précisons ce théorème dans le cas où \(I={\mathcal D}P\) est principal, P opérateur à singularité régulière.

MSC:

14F10 Differentials and other special sheaves; D-modules; Bernstein-Sato ideals and polynomials
13J05 Power series rings
47E05 General theory of ordinary differential operators
34M99 Ordinary differential equations in the complex domain
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