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The Selberg trace formula for \(\text{PSL}(2,\mathbb R)\). Vol. 2. (English) Zbl 0543.10020
Lecture Notes in Mathematics. 1001. Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo; Springer-Verlag. VIII, 806 p. DM 89.00; $ 35.40 (1983).
Das vorliegende Werk ist die Fortsetzung des 1976 erschienenen ersten Bandes [Lect. Notes Math. 548. Berlin etc.: Springer-Verlag (1976; Zbl 0347.10018)]. In den inzwischen vergangenen Jahren ist das allgemeine Interesse am Thema des Werkes eher noch gewachsen, so daß das Erscheinen von Band 2 sehr zu begrüßen ist. In Band 1 wurde die Spurformel für Grenzkreisgruppen erster Art mit kompaktem Fundamentalbereich ausführlich diskutiert. Band 2 ist einer genauen Behandlung des wesentlich schwierigeren Falles der Grenzkreisgruppen erster Art mit Spitzen gewidmet. Der größere Aufwand schlägt sich rein äußerlich im deutlich größeren Umfang nieder. Von den 806 Seiten des Bandes 2 sind 600 Seiten (Kap. 6–11) der Ausarbeitung der Spurformel, ausgewählten Beispielen und Anwendungen gewidmet. Es folgen 142 Seiten Anhänge A–F und Bemerkungen und ein ungewöhnlich reichhaltiges Literaturverzeichnis von 58 Seiten; dazu kommen ein Verzeichnis der Bezeichnungen und ein kurzes Sachverzeichnis.
Angesichts des gewaltigen Umfanges kann ein detailliertes Referat von vornherein nicht in Betracht kommen, so daß wir uns auf eine grobe Skizze beschränken müssen. Das folgende Referat setzt die Besprechung des ersten Bandes (Zbl 0347.10018) fort: Der Verf. entwickelt die Spurformel in drei Versionen mit wachsendem Grad an Allgemeinheit. Im besonders wichtigen Kapitel 6 wird der übersichtlichste Fall der komplexwertigen automorphen Formen vom Gewicht Null zum Charakter \(\chi: \Gamma \to \{z\in\mathbb C: | z| =1\}\) diskutiert. Dabei wird eine Grenzkreisgruppe \(\Gamma\) von erster Art mit nur einer Spitze zugrundegelegt, die auf der oberen Halbebene \(H\) operiert. Ist \(\chi\) regulär, so läßt sich die Spurformel ganz ähnlich beweisen wie im cokompakten Fall. Dagegen liegen die Verhältnisse für singuläres \(\chi\) ganz anders, denn dann hat der Laplace-Operator außer einem diskreten auch ein kontinuierliches Spektrum, und dieses läßt sich mit Hilfe der analytisch fortgesetzten Eisensteinschen Reihen erschöpfend beschreiben. Wesentliche Teile des vorliegenden Bandes beschäftigen sich mit einem vollständigen Beweis dieses Sachverhalts, der auf H. Maaß, A. Selberg und W. Roelcke zurückgeht. Vorbereitend gibt der Autor in Abschnitt 9 des Kapitels 6 einen motivierenden Überblick über den weiteren Gang der Dinge, wobei die tragende Rolle der Eisensteinschen Reihen deutlich wird.
Ein erster Beweis der analytischen Fortsetzbarkeit der Eisensteinschen Reihen wird in Abschnitt 11 des Kapitels 6 durchgeführt. Dieser Beweis wählt den Zugang von A. Selbergs noch immer unveröffentlichter Göttinger Vorlesungsausarbeitung (Harmonic Analysis, 2. Teil, Göttingen 1954, 96 S.). Dabei gelingt die analytische Fortsetzung der Eisensteinschen Reihe mit Hilfe einer kunstvollen Anwendung der Integralgleichungstheorie. Nach Durchführung vorbereitender Abschätzungen in Abschnitt 12 wird dann in Abschnitt 13 die Spurformel für singuläres \(\chi\) bewiesen (nach dem Vorbild von Selbergs Göttinger Vorlesung). Hier wird der Beitrag der Eisensteinschen Reihen minutiös diskutiert. Das Endergebnis, Version A der Selbergschen Spurformel, wird auf S. 209–210 als Theorem 13.8 ausführlich formuliert.
Das relativ kurze Kapitel 7 ist der Entwicklung der Spektraltheorie des hyperbolischen Laplace-Operators in \(L^ 2(\Gamma \backslash H,\chi)\) und der analytischen Fortsetzung Poincaréscher Reihen gewidmet. Insbesondere wird der Resolventenkern meromorph in die volle \(s\)-Ebene fortgesetzt. Die Resultate der Kapitel 6, 7 werden in den Kapiteln 8, 9 verallgemeinert, und zwar enthält Kapitel 8 als Version B der Selbergschen Spurformel die Spurformel für den Fall vektorwertiger automorpher Formen vom Gewicht 0, deren Automorphieverhalten durch eine \(r\)-dimensionale irreduzible unitäre Darstellung von \(\Gamma\) beschrieben wird. Hier lassen sich die vorangehenden Betrachtungen leicht übertragen, so daß sich der Verf. auf eine kurze Skizze der notwendigen Änderungen beschränken kann.
In Version C der Spurformel wird in Kapitel 9 neben den in Kapitel 8 vorgenommenen Verallgemeinerungen zusätzlich ein beliebiges reelles Gewicht der automorphen Formen zugelassen. Dabei stützt sich der Verf. auf die vorangehenden Kapitel und auf eine nun schon klassische Arbeit von W. Roelcke [Math. Ann. 167, 292–337 (1966) und ibid. 168, 261–324 (1967; Zbl 0152.07705)], in der das Eigenwertproblem der automorphen Formen im hier benötigten Grad an Allgemeinheit diskutiert wird. Vorbereitend zeigt der Verf. in Abschnitt 2 von Kapitel 9, wie man die Peterssonschen Sätze über die Existenz von Multiplikatorsystemen (nach A. Selberg) im Rahmen der vorliegenden Theorie bequem beweisen kann. Als abschließende Resultate erzielt der Verf. in Theorem 6.2 und Theorem 6.3 von Kapitel 9 die Version C der Selbergschen Spurformel.
Es folgen in Kapitel 10 ausgewählte Anwendungen. Dabei handelt es sich weitgehend um Verallgemeinerungen der Untersuchungen des ersten Bandes. Die Selbergsche Zetafunktion wird nur relativ kurz abgehandelt. Unter den Anwendungen ergeben sich auch die klassischen Dimensionsformeln von H. Petersson für Räume holomorpher automorpher Formen. Das 94 Seiten lange abschließende Kapitel 11 ist Anwendungen der Spurformel auf spezielle Gruppen gewidmet. Dabei werden insbesondere Untergruppen der Modulgruppe betrachtet. Speziell im Fall der Modulgruppe ergeben sich interessante Beziehungen zu tiefliegenden zahlentheoretischen Problemen.
Von den Anhängen sind hier besonders die Appendices A, C, E und F hervorzuheben. In Appendix A wird das asymptotische Verhalten der hypergeometrischen Funktion sehr sorgfältig untersucht für den Fall, daß einer der Parameter gegen \(\infty\) strebt. Hier werden mehrere in der Literatur vorhandene Fehler korrigiert. Appendix C berichtet über neuere numerische Ergebnisse der Berechnung der ersten Eigenwerte für die Modulgruppe. In einem in Aussicht gestellten dritten Band des vorliegenden Werks beabsichtigt der Verf. auf diesen Gegenstand genauer einzugehen. Appendix E enthält Abschätzungen, die mit Kloostermanschen Summen in Beziehung stehen. Appendix F enthält einen sehr kurzen Beweis der analytischen Fortsetzbarkeit der Eisensteinschen Reihen. Über diesen Beweis 1966 hat A. Selberg 1968 in Oberwolfach vorgetragen, aber die Einzelheiten blieben unveröffentlicht.
Weite Teile des vorliegenden Werks sind eine systematische Ausarbeitung der Ideen von A. Selberg. Während der Arbeit am Manuskript stand der Verf. 9 Jahre lang in Kontakt mit A. Selberg, so daß hier wesentliche Teile bisher unveröffentlichter Arbeiten von Selberg erstmals allgemein bequem zugänglich werden. Daher ist das Erscheinen des vorliegenden Werkes für alle an der Selbergschen Theorie Interessierten ein Ereignis von besonderem Rang. Zusätzlich wird hier aber auch viel Neues geboten, so daß das Werk sowohl für erfahrenere Leser als auch für alle, die sich in den Themenkreis einarbeiten wollen, von größtem Nutzen sein wird.
In der Einleitung äußert der Verf. die Befürchtung, einige Leser könnten glauben, er habe ein ”Monster” geschaffen. Diesen Bedenken möchte der Ref. mit dem Hinweis begegnen, daß sich auch anderwärts in der Mathematik schon mal ein vermeintliches ”Monster” im nachhinein als ”Friendly Giant” erwiesen hat. Daher können wir dem dritten Band nur mit freudiger Zuversicht entgegensehen!

MSC:
11F72 Spectral theory; trace formulas (e.g., that of Selberg)
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11Fxx Discontinuous groups and automorphic forms
30F35 Fuchsian groups and automorphic functions (aspects of compact Riemann surfaces and uniformization)
35Pxx Spectral theory and eigenvalue problems for partial differential equations
11F03 Modular and automorphic functions
11F11 Holomorphic modular forms of integral weight
11F12 Automorphic forms, one variable
11F67 Special values of automorphic \(L\)-series, periods of automorphic forms, cohomology, modular symbols
11M35 Hurwitz and Lerch zeta functions
35P10 Completeness of eigenfunctions and eigenfunction expansions in context of PDEs
35P15 Estimates of eigenvalues in context of PDEs
35P20 Asymptotic distributions of eigenvalues in context of PDEs
58J50 Spectral problems; spectral geometry; scattering theory on manifolds
33C05 Classical hypergeometric functions, \({}_2F_1\)