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Formations de classes et modules d’Iwasawa. (French) Zbl 0543.12007

Number theory, Proc. Journ. arith., Noordwijkerhout/Neth. 1983, Lect. Notes Math. 1068, 167-185 (1984).
[For the entire collection see Zbl 0535.00008.]
This is in a way a survey article centering around the dissertation of the author [Sur la structure galoisienne des corps locaux et la théorie d’Iwasawa; Thèse d’Etat, Orsay 1982; cf. Compos. Math. 46, 85-119 (1982; Zbl 0481.12004) and J. Reine Angew. Math. 333, 133-143 (1982; Zbl 0481.12005)] and a paper of L. V. Kuz’min [Math. USSR, Izv. 6 (1972), 263-321 (1973); translation of Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 36, 267-327 (1972; Zbl 0231.12013)]. We quote from the introduction of the paper:
”Il est bien connu (voir par exemple loc. cit. que les méthodes de la cohomologie galoisienne peuvent s’appliquer avec fruit à la théorie d’Iwasawa. Le but de cet exposé est d’en faire un usage intensif (dimension cohomologique, formations de classes, dimension projective...) pour obtenir, à propos des modules d’Iwasawa standard, un certain nombre de résultats qui ne semblent pas accessibles par la théorie classique. Voici quelques examples de ces résultats:
”Soit p un nombre premier. Soit k une extension finie de \({\mathbb{Q}}\) (resp. de \({\mathbb{Q}}_ p)\). On désigne par \(K_{\infty}\) la composée de toutes les \({\mathbb{Z}}_ p\)-extensions de k, et par \(\Gamma\) le groupe de Galois de \(K_{\infty}/k.\) On considère le module d’Iwasawa standard \(X_{K_{\infty}}\) sur l’algèbre de groupe complète \(\Lambda ={\mathbb{Z}}_ p[[\Gamma]].\) Alors: (i) Le \(\Lambda\)-module \(X_{K_{\infty}}\) est un sous-module d’un \(\Lambda\)-module de dimension projective inférieure ou égale à 1. (ii) Il résulte de (i) qu’en particulier, \(X_{K_{\infty}}\) n’a pas de sous-module pseudo-nul non nul. (iii) Soit \(r_ 2(k)\) (resp. \(n_ k)\) le nombre de places complexes de k (resp. le degré de k sur \({\mathbb{Q}}_ p)\). Le \(\Lambda\)-rang de \(X_{K_{\infty}}\) est égal à \(r_ 2(k)\) (resp. \(n_ k)\). Dans les deux cas, local et global, ce rang s’interprète comme étant égal à une caractéristique d’Euler-Poincaré. (iv) Dans certains cas favorables, la série caractéristique de \(X_{K_{\infty}}\) peut être calculée par des méthodes empruntées à la topologie algébrique (calcul différentiel de Fox).”
Of particular interest are the partial results concerning the so-called ”conjecture faible de Leopoldt” in section 2. The paper winds up with some explicit examples in section 4.
Reviewer: H.G.Zimmer

MSC:

11R34 Galois cohomology
11R18 Cyclotomic extensions
11R37 Class field theory
11S25 Galois cohomology
11S31 Class field theory; \(p\)-adic formal groups
12G05 Galois cohomology
13D05 Homological dimension and commutative rings
12-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to field theory