Class formation and Iwasawa modules. (Formations de classes et modules d’Iwasawa.) (French) Zbl 0543.12007

Nguyen-Quang-Do, T.

Number theory, Proc. Journ. arith., Noordwijkerhout/Neth. 1983, Lect. Notes Math. 1068, 167-185 (1984).

This is in a way a survey article centering around the dissertation of the author [Sur la structure galoisienne des corps locaux et la théorie d’Iwasawa; Thèse d’Etat, Orsay 1982; cf. Compos. Math. 46, 85–119 (1982; Zbl 0481.12004) and J. Reine Angew. Math. 333, 133–143 (1982; Zbl 0481.12005)] and a paper of L. V. Kuz’min [Math. USSR, Izv. 6 (1972), 263–321 (1973); translation of Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 36, 267–327 (1972; Zbl 0231.12013)]. We quote from the introduction of the paper:
”Il est bien connu (voir par exemple loc. cit. que les méthodes de la cohomologie galoisienne peuvent s’appliquer avec fruit à la théorie d’Iwasawa. Le but de cet exposé est d’en faire un usage intensif (dimension cohomologique, formations de classes, dimension projective...) pour obtenir, à propos des modules d’Iwasawa standard, un certain nombre de résultats qui ne semblent pas accessibles par la théorie classique. Voici quelques examples de ces résultats:
”Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(k\) une extension finie de \(\mathbb{Q}\) (resp. de \(\mathbb{Q}_ p)\). On désigne par \(K_{\infty}\) la composée de toutes les \(\mathbb{Z}_p\)-extensions de \(k\), et par \(\Gamma\) le groupe de Galois de \(K_{\infty}/k\). On considère le module d’Iwasawa standard \(X_{K_{\infty}}\) sur l’algèbre de groupe complète \(\Lambda =\mathbb{Z}_p[[\Gamma]]\). Alors:
(i) Le \(\Lambda\)-module \(X_{K_{\infty}}\) est un sous-module d’un \(\Lambda\)-module de dimension projective inférieure ou égale à 1.
(ii) Il résulte de (i) qu’en particulier, \(X_{K_{\infty}}\) n’a pas de sous-module pseudo-nul non nul.
(iii) Soit \(r_2(k)\) (resp. \(n_k)\) le nombre de places complexes de \(k\) (resp. le degré de \(k\) sur \(\mathbb{Q}_p)\). Le \(\Lambda\)-rang de \(X_{K_{\infty}}\) est égal à \(r_2(k)\) (resp. \(n_k)\). Dans les deux cas, local et global, ce rang s’interprète comme étant égal à une caractéristique d’Euler-Poincaré.
(iv) Dans certains cas favorables, la série caractéristique de \(X_{K_{\infty}}\) peut être calculée par des méthodes empruntées à la topologie algébrique (calcul différentiel de Fox).”
Of particular interest are the partial results concerning the so-called “conjecture faible de Leopoldt” in section 2. The paper winds up with some explicit examples in section 4.
[For the entire collection see Zbl 0535.00008.]

Reviewer: Horst G. Zimmer (Saarbrücken)

MSC:

11R34	Galois cohomology
11R23	Iwasawa theory
11R37	Class field theory
11S25	Galois cohomology
11S31	Class field theory; \(p\)-adic formal groups
11-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory

Keywords:

Iwasawa module; class formation; Galois cohomology; Leopoldt conjecture; Euler-Poincaré characteristic; cohomological dimension; Iwasawa theory; projective dimension; \({\mathbb{Z}}_ p\)-extensions

Citations:

Zbl 0257.12003; Zbl 0535.00008; Zbl 0481.12004; Zbl 0481.12005; Zbl 0231.12013