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Postulation des courbes gauches. (English) Zbl 0543.14013
Algebraic geometry - open problems, Proc. Conf., Ravello/Italy 1982, Lect. Notes Math. 997, 218-227 (1983).
[For the entire collection see Zbl 0504.00007.]
Dans cet article les AA. résument des méthodes et résultats concernant le genre maximum des courbes de \(\mathbb P^ 3\) pour une postulation donnée. Il s’agit donc de déterminer \(G(d,s):= \sup\{g(C)\mid C\subseteq\mathbb P^ 3\), lisse, connexe, de degré d, avec \(h^ 0(I_ C(s-1))=0\}\). On distingue trois domaines: \[ (A): d<[(s+2)^ 2+2]/3, \quad (B): [(s+2)^ 2]/3\leq d<s^ 2-2s+2,\quad (C): d\geq s^ 2-2s+2. \]
Dans le domaine (A) on a facilement: \(G(d,s)\leq 1+d(s-1)-\binom{s+2}{3}\). Dans le domaine (B), \(G(d,s)\) est inconnu. Le premier théorème de l’article (théorème A) donne la valeur de \(G(d,s)\) dans le domaine (C). Une partie de ce résultat est trouvée par les AA. dans Algebr. Geom., Proc. Tromsø Symp. 1977, Lect. Notes Math. 687, 31–59 (1978; Zbl 0412.14011)]. Le second théorème (théorème B) donne notamment une majoration de \(E(d,s):=\sup\{e(C)\mid C\) lisse, de degré \(d\) avec \(h^ 0(I_ C(s-1)=0\})\). Les ingrédients essentiels pour démontrer ces résultats semblent être: pour le théorème A, l’étude de la section plane générale (avec le caractère et une version améliorée du lemme des trisécantes généralisé); le théorème B, quant à lui, est essentiellement un résultat de Hartshorne sur les faisceaux reflexifs [R. Hartshorne, Invent. Math. 66, 165–190 (1982; Zbl 0519.14008)]. A cela on est tenté d’ajouter la première construction d’Halphen que l’on peut résumer de la manière suivante: soit \(\mathbb P_ x\) l’éclaté de \(\mathbb P^ 3\) en un point \(x\) et soient \(\mathbb P^ 2\leftarrow^{q}\mathbb P_ x\to^{p}\mathbb P^ 3\) les flèches standard. En appliquant \(q_*p^*\) à la suite \[ 0\to {\mathcal J}_ C(1)\to {\mathcal O}_{\mathbb P^ 3}(1)\to {\mathcal O}_ C(1)\to 0, \] et en dualisant, on obtient: \[ 0\to {\mathcal O}_{{\mathbb{P}}^ 2}\oplus {\mathcal O}_{\mathbb P^ 2}(-1)\to M^{\vee}_ 1\to q_*p^*\omega_ c(2)\to 0. \] On a posé \(M_ i:=q_*p^*{\mathcal I}_ C(i).\) Si \(i\geq 1\) et \(x\) est général, \(M_ i\) est un fibré de rang \(i+1\) sur \(\mathbb P^ 2\). Les AA. étudient le fibré \(M_ 1\) (sa stabilité) et en déduisent la majoration d’Halphen: \(g\leq(e+1)(d-e-3)\) (majoration qui s’obtient aussi par la méthode de la section plane). Malheureusement, pour \(i\geq 2\), l’étude des fibrés \(M_ i\) semble plus délicate. Halphen n’a pas encore livré tous ses secrets. Il faut des lors revenir à la méthode de la section plane (cf. le papier cité premièrement). Pour prouver les majorations de \(E(d,s)\) les AA. donnent une nouvelle démonstration plus simple du théorème d’Hartshorne cité plus haut. En conclusion, cet article est très intéressant et l’on peut regretter le manque de détails et quelques erreurs de frappe (que le lecteur devinera?).
Reviewer: P. Ellia

MSC:
14H99 Curves in algebraic geometry
14N05 Projective techniques in algebraic geometry