Einbettungen kommutativer algebraischer Gruppen und einige ihrer Eigenschaften. (English) Zbl 0543.14029

Faltings, G.; Wüstholz, G.

J. Reine Angew. Math. 354, 175-205 (1984).

Depuis quelques années, plusieurs travaux concernant les nombres transcendants ont nécessité de connaître certaines propriétés des groupes algébriques commutatifs. Différentes questions, soulevées par S. Lang [”Introduction to transcendental numbers (1966; Zbl 0144.041)], ont été résolues par J.-P. Serre [Astérique 69-70, 191-202 (1979; Zbl 0428.10017)]. Les AA. apportent ici quelques précisions. Ils présentent d’abord la compactification lisse de Serre d’un groupe algébrique commutatif [voir aussi F. Knop and H. Lange, Math. Ann. 267, 555-571 (1984)].
Ils explicitent ensuite l’application exponentielle, en particulier dans le cas d’une extension d’une courbe elliptique ou d’un produit de courbes elliptiques. Ils précisent le lien entre les intégrales abéliennes et certaines groupes algébriques [cf. J.-P. Serre, ”Groupes algébriques et corps de classes” (1959; Zbl 0097.356)]. Enfin, dans la dernière partie, ils montrent que toute 1-forme holomorphe fermée sur une variété quasiprojective lisse sur un corps de caractéristique nulle est le ”pull back” d’une forme différentielle invariante sur une variété d’Albanese généralisée.
Grâce à cela, on déduit immédiatement d’un théorème annoncé par G. Wüstholz [dans ”Approximations diophantiennes et nombres transcendants”, Colloq. Luminy/Fr. 1982, Prog. Math. 31, 329-326 (1983; Zbl 0534.10026)] l’énoncé suivant [cf. G. Wüstholz, ”Number Theory, Proc. Noordwijkerhout 1983”, Lect. Notes Math. 1068, 280-296 (1984; voir le rapport 10025; théorème 10)]: si X est une variété quasi-projective lisse définie sur un corps de nombres, \(\xi\) une 1- forme holomorphe fermée sur X, et \(\gamma\) un chemin fermé sur X, alors l’intégrale \(\int_{\gamma}\xi\) est nulle ou transcendante.

Reviewer: M.Waldschmidt

MSC:

14L10	Group varieties
11J81	Transcendence (general theory)
14H05	Algebraic functions and function fields in algebraic geometry
14H52	Elliptic curves

Keywords:

algebraic groups; Abelian varieties; elliptic curves; algebraic differentials; generalized Albanese variety