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Mesures cylindriques singulières sur un espace de Hilbert. Équivalence et orthogonalité. (French) Zbl 0544.28010
Soit H un espace de Hilbert réel séparable. Une mesure cylindrique positive \(\mu\) sur H se décompose, en tant qu’une fonction additive d’ensembles, en une mesure complètement additive \(\mu_ 0\) plus une mesure cylindrique purement additive ou singulière \(\mu_ s\). On donne une construction concrète de la composante \(\mu_ 0\) et différentes caractérisations pour qu’une mesure cylindrique \(\mu\) soit réduite à l’une de ses composantes \(\mu_ 0\) ou \(\mu_ s\). Et l’on montre notamment qu’une mesure cylindrique gaussienne est ou bien complètement additive ou bien singulière.
D’autre part, à toute mesure cylindrique \(\mu\) et à toute base hilbertienne b de H, on associe une mesure de Radon \(\mu^ b\) sur \(R^{\infty}\). La mesure cylindrique \(\mu\) est absolument continue par rapport à une autre mesure cylindrique \(\nu\) si et seulement si \(\mu^ b\) est absolument continue par rapport à \(\nu^ b\) pour toute base hilbertienne b de H. La mesure \(\mu\) est orthogonale à \(\nu\) si et seulement s’il existe une base hilbertienne b de H telle que \(\mu^ b\) soit orthogonale à \(\nu^ b\). Enfin on donne quelques applications à l’étude des mesures cylindriques \(\mu\) au moyen de leurs images \(\mu^ b\).
MSC:
28C20 Set functions and measures and integrals in infinite-dimensional spaces (Wiener measure, Gaussian measure, etc.)
46G12 Measures and integration on abstract linear spaces
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Full Text: EuDML