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The Stark conjectures on Artin \(L\)-functions at \(s=0\). Lecture notes of a course in Orsay edited by Dominique Bernardi and Norbert Schappacher. (Les conjectures de Stark sur les fonctions \(L\) d’Artin en \(s=0\). Notes d’un cours à Orsay rédigées par Dominique Bernardi et Norbert Schappacher.) (French) Zbl 0545.12009
Progress in Mathematics, Vol. 47. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser. 143 p. SFr. 38.00; DM 45.00 (1984).
Soit \(k\) un corps de nombres algébriques, \({\mathcal O}_ k\) son anneau des entiers, \(U_ k\) le groupe des unités de \({\mathcal O}_ k\). Le premier coefficient du développement en série entière de \(\zeta_ k\) au voisinage de \(s=0\) est égal à \(-h R/e\) où \(h\) est le nombre de classes, \(R\) le régulateur et \(e\) le nombre de racines de l’unité de \(k\). La conjecture de Stark propose une interprétation analogue pour les fonctions \(L\) d’Artin des \(S\)-entiers (\(S\) contenant les places à l’infini \((S_{\infty}))\) d’une extension galoisienne \(K/k.\) L’ouvrage regroupe les notes d’un curs donné en 1980–81 en indiquant les développements récents.
Le Chap. 0 sert d’aide-mémoire pour le reste de l’ouvrage. Donnant en peu de pages des résultats essentiels et des références précises il peut servir de mentor à un lecteur débutant.
Le but du Chap. I est d’énoncer la conjecture de Stark. La fonction \(\zeta_ K\) étant un produit de fonctions \(L\), il est nécessaire de décomposer le régulateur en un produit de facteurs définis pour chaque caractère: les régulateurs de Stark. Leur construction est basée sur le théorème de Herbrand sur les unités. La conjecture affirme que, si \(c(\chi)\) est le premier coefficient du développement de Laurent en \(s=0\) de \(L(s,\chi,K/k)\), le quotient \(A(\chi)\) de \(c(\chi)\) par le régulateur de Stark est un nombre algébrique vérifiant \(A(\chi^{\sigma})=A(\chi)^{\sigma}\) pour tout automorphisme de \(\mathbb C\). Il est ensuite montré que la validité de la conjecture est indépendante des divers paramètres intervenant dans la construction des régulateurs. Le lien est fait avec une conjecture analogue en \(s=1.\)
Le Chap. II est consacré à la démonstration de la conjecture de Stark pour les caractères à valeurs rationnelles; il sert d’utile introduction aux travaux de Chinburg faisant le lien avec les techniques de Fröhlich, analogie apparue déjà à la fin du chap. I. Les techniques cohomologiques permettent de donner une interprétation de \(A(\chi)\) en terme d’algèbre linéaire; le calcul se ramène au dévissage d’un module fini sur l’ordre maximal d’un corps gauche.
Dans le Chap. III, la conjecture de Stark est étudiée pour les caractères \(\chi\) tels que \(L(s,\chi,K/k)\) ait au plus un zéro simple à l’origine. Si \(L\) ne s’annule pas en \(s=0,\) un raffinement du théorème de Brauer permet de déduire la conjecture du résultat de Siegel sur la valeur en 0 des fonctions \(\zeta\) partielles \(\zeta (s,\sigma)\). Lorsque le zéro est simple, la conjecture n’est pas démontrée, elle équivaut à l’existence des unités de Stark.
Le Chap. IV concerne le cas où \(K/k\) est abélienne, la conjecture (notée \(\text{St}(S)\)) étant qu’il existe une \(S\)-unité ”abélienne” \(\varepsilon\) telle que \(e \zeta '(0,\sigma)=\log | \varepsilon^{\sigma}|_ w,\quad w| v,\) si \(S\) contient \(S_{\infty}\), les places ramifiées et \(v\) totalement décomposée. Pour \(S\) ”assez gros” \(\text{St}(S)\) est immédiate; si \(v\in S_{\infty},\) \(k\) totalement réel, \(\text{St}(S)\) donnerait des unités engendrant, essentiellement, les extensions abéliennes de \(k\) (= 12e problème de Hilbert), le cas \(v\) finie conduisant à un analogue du théorème d’annulation de Stickelberger (conjecture de Brumer-Stark). La conjecture \(\text{St}(S)\) est alors démontrée, précisément dans les cas où l’on sait générer les extensions abéliennes de \(k\) \((k={\mathbb Q}\) ou un corps quadratique imaginaire: unités cyclotomiques ou elliptiques), ce qui fait dire à l’A.: ”L’énoncé de Stark (...) passe à côté de ces fonctions transcendantes inconnues attendues par Hilbert. Peut- être la connaissance de ces dernières sera-t-elle nécéssaire pour démontrer la conjecture de Stark?”
Le Chap. V traite le cas des corps de fonctions. Seule l’analogue de la conjecture de Brumer-Stark (cf. chap. IV) est non-triviale; elle est vraie et l’A. en donne une démonstration dûe à Deligne.
Le Chap. VI discute la version \(p\)-adique des conjectures précédentes (cas général et conjecture plus fine dans le cas abélien). Le problème nouveau est que la non nullité des régulateurs \(p\)-adiques est conjecturale; la conjecture en \(s=0\) est celle de Gross; il y a aussi une conjecture en \(s=1\) (Serre) indépendante de la précédente, par absence d’équation fonctionnelle.
En conclusion il faut dire que le sujet traité est d’un interêt remarquable car: (i) au plan théorique, il est au confluent des aspects majeurs de l’arithmétique algébrique (théorie galoisienne ”à la Fröhlich”, corps de classes, fonctions L complexes et p-adiques, incidence avec le 12e problème de Hilbert et la théorie de Mazur–Wiles...), (ii) au plan de l’arithmétique numérique, il touche aux questions les plus riches (unités, classes d’idéaux...).
A ce sujet on peut regretter l’absence d’un chap. sur les méthodes numériques de calculs de valeurs de fonctions \(L\) (malgré le très bel exemple numérique raconté pp. 98-102): en effet, ceci semble bien le seul moyen de trouver des unités (puis les unités du corps par ”dévissage” des unités de Stark). Notons aussi que le chap. V aurait dû être placé en Appendice: il sort (au plan technique) du cadre proposé par l’ouvrage lui-même; il s’agit d’un point de chute pour la démonstration d’un résultat profond qui ne semble pas publié par ailleurs.
En dépit de ces remarques (et aussi de quelques formulations inhabituelles (cf. pp. 34-35)), ce livre apparaît comme le meilleur point de départ pour tout lecteur voulant aborder ces questions avec efficacité avant de lire les nombreux articles publiés, et contribuer aux importantes questions que posent les conjectures de Stark.

MSC:
11R42 Zeta functions and \(L\)-functions of number fields
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11R27 Units and factorization
11R23 Iwasawa theory
11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11S40 Zeta functions and \(L\)-functions
11R33 Integral representations related to algebraic numbers; Galois module structure of rings of integers
12G05 Galois cohomology
11R52 Quaternion and other division algebras: arithmetic, zeta functions
11R58 Arithmetic theory of algebraic function fields