Sur les suites de fonctions qui convergent sur les graphes. (French) Zbl 0545.60011

Talagrand, Michel

Sémin. probabilités XVIII, 1982/83, Proc., Lect. Notes Math. 1059, 327-329 (1984).

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Soient K et L deux compacts métrisables, et \(\lambda\) une probabilité de Radon sur L. Soit \({\mathfrak A}\) l’ensemble des mesures de Radon \(\geq 0\) sur \(K\times L\) dont la projection sur L est majorée par \(\lambda\). Soit \(\phi\) une fonction affine de première classe sur \({\mathfrak A}\). Un résultat remarquable de Mokobodzki montre qu’il existe une fonction borélienne f sur \(K\times L\) telle que \(\phi(\mu)=\int fd\mu\) pour \(\mu \in {\mathfrak A}\). Il est donc naturel de poser la question suivante: Si \((f_ n)\) est une suite de fonctions boréliennes sur \(K\times L\), telle que \((f_ n)\) converge dans \(L^ 1(\mu)\) pour chaque \(\mu \in {\mathfrak A}\), existe-t-il une sous-suite de la suite \((f_ n)\) qui converge p.s. pour chaque \(\mu \in {\mathfrak A}?\) Le but de cette note est de montrer qu’il n’en est rien, ce qui rend le résultat de Mokobodzki encore plus remarquable.

Reviewer: A.Spătaru

MSC:

60B05	Probability measures on topological spaces
60F25	\(L^p\)-limit theorems

Keywords:

Radon probability measures on compact spaces

Citations:

Zbl 0527.00020