Uniqueness theorems for second order elliptic differential equations. (English) Zbl 0546.35023

Hörmander, Lars

Commun. Partial Differ. Equations 8, 21-64 (1983).

Der Verf. knüpft an den folgenden Eindeutigkeitssatz von Aronszajn (1957) und Cordes (1956) an: Wenn \((a_{ij}(x))\) eine reelle, symmetrische, positiv definite \(n\times n\) Matrix mit \(a_{ij}\in C^ 2(R^ n)\), \(u\in H_ 1^{loc}\) in einer Umgebung von 0 und von unendlicher Ordnung in 0 verschwindet, und für ein \(\epsilon >0 |\sum a_{ij}(x)D_ iD_ ju|\leq C\sum_{|\alpha |\leq l}| x|^{\epsilon +|\alpha | -2}| D^{\alpha}u|\) gilt, so verschwindet u identisch. Die Voraussetzungen wurden später von Aronszajn (1962) dahingehend abgeschwächt, daß die zweiten Ableitungen der \(a_{ij}\) bzw. die \(a_{ij}\) selbst nur Lipschitz-stetig zu sein brauchen. Bei Eindeutigkeitsaussagen von Alinhac und Baouendi (1980) werden die \(a_{ij}\) reell aus \(C^{\infty}\) und positive Definitheit für \(x=0\) angenommen. Wenn \((a_{ij}(0))\) nicht proportional zu einer reellen Matrix und \(n>2\) ist, so konnte Alinhac ein \(a\in C^{\infty}\) so konstruieren, daß \(\sum a_{ij}(x)D_ iD_ ju(x)+a(x)u(x)=0\) eine Lösung \(u\in C^{\infty}\) besitzt, die nicht identisch gleich Null ist, jedoch von unendlicher Ordnung in 0 verschwindet.
In der vorliegenden Arbeit werden diese und andere frühere Resultate von Agmon (1966) und Hörmander (1963) verallgemeinert, indem nur Lipschitz-Stetigkeit für die \(a_{ij}\) angenommen wird. Mit Hilfe dieser Ergebnisse kann der Verf. auch Eindeutigkeitsaussagen beweisen, indem er das Erfülltsein von \(L^ p\)-Bedingungen bei den Koeffizienten der Ableitungen niedriger Ordnung fordert. Hierdurch werden bekannte Resultate für \(n>3\) verallgemeinert, jedoch die entsprechenden Aussagen für den Laplace-Operator, \(n=2,3\), nicht erhalten (Amrein, Berthier, Georgescu 1981). Schließlich werden Eindeutigkeitsaussagen für im Unendlichen schnell abnehmende Lösungen bewiesen und hierbei Resultate von Kato (1959), Agmon (1970) und Simon (1969) wiederentdeckt.

Reviewer: L.Jantscher

MSC:

35J30	Higher-order elliptic equations
35A05	General existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000)

Keywords:

uniqueness; Lipschitz continuous coefficients

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