Multiple wells in the semi-classical limit. I. (English) Zbl 0546.35053

Helffer, B.; Sjöstrand, J.

Commun. Partial Differ. Equations 9, 337-408 (1984).

Cet article est consacré à l’étude du comportement des valeurs propres et des fonctions propres de l’opérateur de Schrödinger \(P=- h^ 2\Delta +V\) (sur une variété Riemannienne compacte ou sur \({\mathbb{R}}^ n)\), bien que les problèmes considérés ici puissent être posés (ce qui est fait dans certains paragraphes) pour un o.p.d. formellement auto-adjoint. L’article est dense et les résultats nombreux; ceci dit, afin de ne pas allonger exagèrement ce compte rendu, nous nous contenterons d’en décrire les principaux résultats. Le potentiel V(x) est une fonction réelle, \(C^{\infty}\) sur M et si \(M={\mathbb{R}}^ n\) vérifie \(\lim_{| x|\to +\infty}V(x)\geq E_ 0.\) L’ensemble \(U=\{x\in M:v(x)\leq E_ 0\}\) est supposé être de la forme \(U=\cup^{N}_{j=1}U_ j\) où les \(U_ j\) sont des compacts disjoints: ce sont les puits.
Dans le paragraphe 1 certaines inégalités, utiles pour la suite, sont démontrées. La méthode clef de cet article est décrite au paragraphe 2. Soient \(M_ j\subset M\) des variétés compactes à bord régulier telles que \(U_ j\subset\overset \circ M_ j\), \(M_ j\cap U_ R=\emptyset\) si \(j\neq k\), et \(P_{M_ j}\) la réalisation auto-adjointe de P dans \(L^ 2(M_ j)\) avec les conditions au bord de Dirichlet. Les renseignements sur le spectre de P (modulo des erreurs exponentiellement décroissantes) sont obtenus à partir de ceux des \(P_{M_ j}\). Par exemple soit I(h) une suite d’intervalles (dans la région du spectre discret de P) qui tendent vers \(\{E_ 0\}\) tels que \(P_{M_ j}\) et P n’ont, en gros, pas de spectre hors de I(h). Posons \(Sp(P_{M_ j})\cap I(h)=\{\mu_{j1}...\mu_{j,m_ j}\}\) et soit \((\phi_{jk})\) une base orthonormale de fonctions propres. Alors I(h) contient exactement \(m_ 1+...+m_ N\) valeurs propres de P. Il est ensuite montré que l’espace des fonctions propres associées à Sp(P)\(\cap I(h)\) est à distance (en un sens approprié) O(exp(-s/h)) de \(\{\chi_ j\phi_{jk}\}_{1\leq j\leq N,1\leq k\leq m_ N}\) où \(\chi_ j\in C_ 0^{\infty}(M_ j)\), \(\chi_ j=1\) près de \(\{x\in M:d(x,U_ j)<s\}\) où d est la métrique d’Agmon: \(Max(v(x)-E_ 0,O)dx^ 2.\)
Des renseignements supplémentaires sur la matrice de \(P|_ F\) sont ensuite obtenus. Dans le paragraphe suivant, les auteurs examinent le cas où chaque puits est réduit à un point, i.e. \(U_ j=\{x_ j\}\) et \(v\geq O\), \(V''(x_ j)>O\). Ils obtiennent un développement asymptotique des premières valeurs propres (en puissance de h) et des vecteurs propres correspondants associés à chaque puits. Ils améliorent des résultats de B. Simon sur la différence des deux premières valeurs propres.
Utilisant le formalisme et les méthodes du deuxième auteur [Astérisque 95, 1-166 (1982; Zbl 0524.35007)] ils montrent que les constructions faites au § 3 donnent lieu à des symboles analytiques (lorsque M et V sont analytiques). Au § 5 les auteurs montrent que les fonctions propres approchées approximent celles de \(P_{M_ j}\) même lorsque on rend compte du facteur exponentiel.

Reviewer: C.Zuily

MSC:

35P20	Asymptotic distributions of eigenvalues in context of PDEs
35Q99	Partial differential equations of mathematical physics and other areas of application
81Q05	Closed and approximate solutions to the Schrödinger, Dirac, Klein-Gordon and other equations of quantum mechanics
35P15	Estimates of eigenvalues in context of PDEs

Citations:

Zbl 0524.35007

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