Ehrhard, Antoine Isoperimetric inequalities and Gaussian Dirichlet integrals. (Inégalités isopérimétriques et intégrales de Dirichlet gaussiennes.) (French) Zbl 0546.49020 Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 17, 317-332 (1984). Soit \(\gamma_n\) et \(\gamma_1\) les mesures de Gauss canoniques sur \(\mathbb{R}^n\) et \(\mathbb{R}\) respectivement; nous étudions le réarrangement équimesurable croissant des fonctions de \((\mathbb{R}^n,\gamma_n)\) vers \((\mathbb{R},\gamma_1)\) qui est associé aux symétrisation gaussiennes de l’A. [Math. Scand. 53, 281–301 (1983; Zbl 0542.60003)]. On montre que cette opération de réarrangement diminue les normes \(L^p\) \((1\le p\le +\infty)\) par rapport aux mesures de Gauss, du module du gradient des fonctions lipschitziennes. On généralise à la mesure de Gauss certains résultats de G. Polya et G. Szegö [Isoperimetric inequalities in mathematical physics. Princeton: Princeton University Press (1951; Zbl 0044.38301)], en particulier, on obtient une inégalité analogue à celle de Poincaré. Reviewer: Antoine Ehrhard Cited in 1 ReviewCited in 34 Documents MSC: 49Q15 Geometric measure and integration theory, integral and normal currents in optimization 52A40 Inequalities and extremum problems involving convexity in convex geometry 60G15 Gaussian processes 26D10 Inequalities involving derivatives and differential and integral operators 60E15 Inequalities; stochastic orderings 46E30 Spaces of measurable functions (\(L^p\)-spaces, Orlicz spaces, Köthe function spaces, Lorentz spaces, rearrangement invariant spaces, ideal spaces, etc.) Keywords:isoperimetric inequalities; Dirichlet integral Citations:Zbl 0542.60003; Zbl 0044.38301 × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: DOI Numdam EuDML References: [1] C. BANDLE , Isoperimetric Inequalities and Applications (Monographs and Studies in Math., n^\circ 7, Pitman, 1980 ). MR 81e:35095 | Zbl 0436.35063 · Zbl 0436.35063 [2] P. BÉRARD et D. MEYER , Inégalités isopérimétriques et applications (Ann. scient. Éc. Norm. Sup., 4e série, t. 15, 1982 , p. 513 à 542). Numdam | MR 84h:58147 | Zbl 0527.35020 · Zbl 0527.35020 [3] C. BORELL , The Brunn-Minkowski Inequality in Gauss Space (Inv. Math., 30, 1974 , p. 207-211). MR 53 #3246 | Zbl 0311.60007 · doi:10.1007/BF01425510 [4] A. EHRHARD , Symétrisation dans l’espace de Gauss (Math. Scand. à paraître). Zbl 0542.60003 · Zbl 0542.60003 [5] H. FEDERER , Geometric Measure Theory (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1969 ). MR 41 #1976 | Zbl 0176.00801 · Zbl 0176.00801 [6] F. W. GEHRING , Symmetrisation of Rings in Space (Trans. Amer. Soc., 101, 1961 , p. 499-519). MR 24 #A2677 | Zbl 0104.30002 · Zbl 0104.30002 · doi:10.2307/1993475 [7] W. K. HAYMAN , Multivalent Functions (Cambridge University Press, Cambridge, 1958 ). Zbl 0082.06102 · Zbl 0082.06102 [8] A. HERTELE , Gaussian Plane and Spherical Measures in Separable Hilbert Space (Probability in Banach Spaces, Oberwolfach, 1982 , à paraître). Zbl 0521.28010 · Zbl 0521.28010 [9] P. A. MEYER , Note sur le processus d’Ornstein-Uhlenbeck (Séminaire de Probabilité XVI, Springer, 1980 - 1981 ). Numdam | Zbl 0481.60041 · Zbl 0481.60041 [10] G. POLYA , Sur la symétrisation Circulaire (C.R. Acad. Sc., Paris, 230, 1950 , p. 25 à 27). MR 11,435h | Zbl 0037.25302 · Zbl 0037.25302 [11] G. POLYA et G. SZEGÖ , Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics (Princeton University Press, Princeton, 1951 ). Zbl 0044.38301 · Zbl 0044.38301 [12] J. SARVAS , Symmetrisation of Rings in n-Space . (Ann. Acad. Sci. Fenn., série A, 522, 1971 ). [13] E. SPERNER , Zu Symmetrisierung von Funktionen auf Sphören (Math. Z., 143, 1973 , p. 317-327). Article | MR 49 #5310 | Zbl 0283.26015 · Zbl 0283.26015 · doi:10.1007/BF01214695 [14] F. G. TRICOMI , Fonctions Hypergéométriques Confluentes (Gauthier-Villars, Paris, 1960 ). Numdam | MR 22 #11163 | Zbl 0087.28002 · Zbl 0087.28002 This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.