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Number theoretic applications of polynomials with rational coefficients defined by extremality conditions. (English) Zbl 0547.10029

Arithmetic and geometry, Pap. dedic. I. R. Shafarevich, Vol. I: Arithmetic, Prog. Math. 35, 61-105 (1983).
[For the entire collection see Zbl 0518.00004.]
Ce texte est découpé en deux parties. La première partie traite des approximations de Padé en relation avec les mesures d’irrationalité de nombres algébriques et de logarithmes de nombres algébriques. Ce sujet a été développé et raffiné par D. V. et G. V. Chudnovsky dans deux importants articles parus dans [Lect. Notes Math. 1052, 37-84, 85-167 (1984; Zbl 0536.10028 et Zbl 0536.10029)]. Le chapitre I du texte explicite des mesures d’irrationalité des nombres \(\pi\), ln 2, \(\pi\) /\(\sqrt{3}\) et de nombres algébriques de degré 3.
La seconde partie étudie une approche originale du théorème des nombres premiers proposée par A. O. Gel’fond et L. G. Schnirelman. Cette approche expliquée au paragraphe 1 donne une minoration de la fonction \(\psi\) de Chebyshev, le paragraphe 2 étudie la méthode utilisée par Gel’fond et Schnirelman, tandis que le paragraphe 3 présente une généralisation de cette méthode en considérant des polynômes en plusieurs variables qui conduit à une minoration de la fonction \(\psi_ 1(x)=\sum_{m\leq x}\psi (m).\)
Les résultats présentés ici ont été indépendemment établis par M. Nair [J. Lond. Math. Soc., II. Ser. 25, 385-391 (1982; Zbl 0453.10008)]. Enfin le paragraphe 4 reprend la méthode de Gel’fond et Schnirelman pour démontrer élémentairement une majoration de la fonction \(\psi\).
Reviewer: P.Philippon

MSC:

11J04 Homogeneous approximation to one number
11N05 Distribution of primes
11J81 Transcendence (general theory)
41A50 Best approximation, Chebyshev systems
41A21 Padé approximation
11A41 Primes