Principal series representations of special unitary groups over local fields. (English) Zbl 0547.22009

Keys, David

Compos. Math. 51, 115-130 (1984).

Es sei F ein nichtarchimedischer lokaler Körper und E eine separable quadratische Erweiterung von F. Mit \(SU(2n+1)\) wird die Gruppe der \((2n+1)\)-reihigen quadratischen Matrizen bezeichnet, die die Hermitesche Form \(X_ n\bar Y_{-n}+...+X_ 0\tilde Y_ 0+...+X_{-n}\bar Y_ n\) auf \(E^{2n+1}\) invariant lassen. Der Autor untersucht einschlägige Fragen über die Darstellungen der Hauptreihe dieser Gruppe. Er berechnet explizit für \(SL_ 2(F)\) und SU(3) die c-Funktion von Harish-Chandra und bestimmt damit die reduziblen Darstellungen in der Hauptreihe von SU(3). Im letzten Teil der Arbeit werden die möglichen Typen der R-Gruppen (nach Knapp-Stein) für die entsprechenden Darstellungen von \(SU(2n+1)\) ausgerechnet, durch die man dann Kenntnisse über deren Reduzibilität bekommt. Die Resultate sind analog zu den bekannten Ergebnissen im Falle \(F={\mathbb{R}}\), \(E={\mathbb{C}}\). Leider glaubte der Autor an einigen Stellen, auf eine Erläuterung seiner Bezeichnungen verzichten zu können.

Reviewer: H.S.Holdgrün

MSC:

22E50	Representations of Lie and linear algebraic groups over local fields
22E35	Analysis on \(p\)-adic Lie groups
22E46	Semisimple Lie groups and their representations

Keywords:

reducibility; unitary and non-unitary principal series representations; Plancherel measure; separable quadratic extension

References:

[1]	W. Casselman : Introduction to the Theory of Admissible Representations of p-adic Reductive Groups , to appear.
[2]	W. Casselman : The unramified principal series of p-adic groups, I. The spherical function . Comp. Math. 40 (3) (1980) 387-406. · Zbl 0472.22004
[3]	D. Keys : On the decomposition of reducible principal series representations of p-adic Chevalley groups . Pacific J. Math. 101 (1982) 351-388. · Zbl 0438.22010 · doi:10.2140/pjm.1982.101.351
[4]	D. Keys : Reducibility of unramified unitary principal series representations of p-adic groups and class-1 representations . Math. Annalen 260 (1982) 397-402. · Zbl 0488.22026 · doi:10.1007/BF01457019
[5]	A.W. Knapp and E.M. Stein : Intertwining operators for semi-simple groups, II . Invent. Math. 60 (1980) 9-84. · Zbl 0454.22010 · doi:10.1007/BF01389898
[6]	P.J. Sally and M.H. Taibleson : Special functions on locally compact fields . Acta Math. 116 (1966) 279-309. · Zbl 0173.07005 · doi:10.1007/BF02392818
[7]	F. Rodier : Models de Whittaker et characteres de representations . In: Lecture Notes in Math. 466, Non-Commutative Harmonic Analysis , Springer-Verlag (1975), pp. 151-171. · Zbl 0339.22014
[8]	F. Shahidi : On certain L-functions . Amer. J. Math. 103 (2) (1981) 297-355. · Zbl 0467.12013 · doi:10.2307/2374219
[9]	A. Silberger : Introduction to harmonic analysis on reductive p-adic groups (based on lectures by Harish-Chandra at IAS) . Math Notes no. 23, Princeton University Press, N.J. (1979). · Zbl 0458.22006 · doi:10.1515/9781400871131
[10]	A. Silberger : The Knapp-Stein dimension theorem for p-adic groups . Proc. Amer. Math. Soc. 68 (1978) 243-246, and ”Correction”, 76 (1979) 169-170. · Zbl 0415.22020 · doi:10.2307/2042939
[11]	A. Silberger : Special representations reductive p-adic groups are not integrable . Ann. Math. 111 (1980) 571-587. · Zbl 0437.22015 · doi:10.2307/1971110