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Représentations cuspidales du groupe linéaire. (French) Zbl 0549.22009
Soit F un corp local non archimédien. On s’intéresse aux représentations admissibles irréductibles des groupes \(GL_ n(F)\). Bernstein et A. V. Zelevinsky [ibid. 13, 165-210 (1980; Zbl 0441.22014)], classifient ces représentations en termes des représentations cuspidales. L’étude des représentations cuspidales de \(GL_ n(F)\) est ainsi fondamentale tant pour l’analyse harmonique sur ce groupe que pour la conjecture de Langlands locale.
Dans cet article, l’auteur définit certaines représentations ”très cuspidales” des images inverses K dans \(GL_ n(F)\) des divers sous- groupes compacts maximaux de \(PGL_ n(F)\). Il montre que ces représentations induisent des représentations irréductibles cuspidales de \(GL_ n(F)\) et que pour n premier, toutes sont obtenues (résultat connu pour \(n=2\) (Ph. Kutzko) et n premier à la caractéristique résiduelle (A. Moy)). L’idée de cette induction remonte à Shintani, Howe et Gérardin. L’originalité du présent travail (qui en fait l’importance et la rend généralisable à d’autres groupes) est qu’on ne part pas, comme les auteurs précédents, d’un tore elliptique maximal de \(GL_ n(F)\) mais de conditions (de leur cuspidalité) imposées aux repŕesentations de K. Ces conditions s’expriment en termes de leur restriction au dernier groupe de la filtration naturelle de k dont l’image est non triviale: cette restriction doit être aussi peu dégénérée que possible.
On contrôle ainsi degré formel et conducteur des représentations cuspidales obtenues et on effectue des dénombrements. Une construction analogue est donnée pour le groupe multiplicatif d’une algèbre à division de centre F; cela permet grâce à la correspondance de Bernstein, Deligne, Kazhdan, Vigneras [Représentations des groups réductifs sur un corps local, travaux en cours (1984; Zbl 0544.00007)] de prouver le résultat d’exhaustion pour n premier cité plus haut.
Reviewer: G.Henniart

MSC:
22E50 Representations of Lie and linear algebraic groups over local fields
11S37 Langlands-Weil conjectures, nonabelian class field theory
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML
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