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Fibres algébriques de fibre donné. (French) Zbl 0549.55009

Homotopie algébrique et algèbre locale, Journ. Luminy/France 1982, Astérisque 113-114, 192-197 (1984).
[For the entire collection see Zbl 0535.00017.]
Il résulte de la théorie de D. Quillen [Ann. Math., II. Ser. 90, 205-295 (1969; Zbl 0191.537)] que le modèle de Quillen d’un H- espace associatif est l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie différentielle graduée. Dans cet article on étudie un analogue algébrique des constructions de A. Dold et R. Lashof [Ill. J. Math. 3, 285-305 (1959; Zbl 0088.153)] et de J. D. Stasheff [Bol. Soc. Mat. Mex., II. Ser. 11, 68-84 (1966; Zbl 0173.511)]. A une algèbre différentielle graduée A sur laquelle agit une algèbre de Lie différentielle graduée L on associe, d’une manière fonctorielle, un fibré algébrique de fibre A dont la base est l’algèbre \(C^*(L)\), duale de la coalgèbre C(L) de Quillen.
Il y a deux cas particuliers importants. Si on prend pour A l’algèbre de Hopf \(U^*(L)\), duale de l’algèbre enveloppante U(L) de L, avec l’action induite par la comultiplication de \(U^*(L)\), on obtient un fibré qui est universal pour les L-fibrés principaux. Si on prend pour L l’algèbre de Lie L(A) des dérivations de A de degré strictement négatif, qui agit sur A par évaluation, on obtient un fibré qui est universel pour les fibrés de fibre A.
On en déduit alors un théorème de classification pour les fibrés de fibre A, lorsque A est une algèbre minimale dont l’espace des indécomposables est de dimension finie. De plus on montre que l’ensemble des classes d’équivalence des actions d’algèbres de Lie différentielles graduées sur A est isomorphe à l’ensemble des classes de c-équivalence des fibrés algébriques de fibre A.

MSC:

55P62 Rational homotopy theory
55R05 Fiber spaces in algebraic topology
55R35 Classifying spaces of groups and \(H\)-spaces in algebraic topology
18F15 Abstract manifolds and fiber bundles (category-theoretic aspects)
16W50 Graded rings and modules (associative rings and algebras)
17B70 Graded Lie (super)algebras