Particle methods for the one-dimensional Vlasov-Poisson equations. (English) Zbl 0549.65084

Cottet, G.-H.; Raviart, P.-A.

SIAM J. Numer. Anal. 21, 52-76 (1984).

In der Arbeit wird die Konvergenz einer Teilchensimulation gegen die Lösung der eindimensionalen elektrostatischen Vlasov-Gleichung gezeigt. Dabei wird ein Anfangs-Randwertproblem mit periodischen Randbedingungen betrachtet. In der Simulation werden die Lösungen der Vlasov-Gleichung durch unendliche Teilchensysteme approximiert: Die Anfangsverteilung \(\overset \circ f\) durch Ladungspunkte, die auf einem Rechteckgitter im (x,v)-Raum mit durch \(\overset \circ f\) gegebenen Gewichten sitzen und die Lösung \(f(t,\cdot)\) durch die Verteilung der Ladungspunkte, die sich aus den Anfangspunkten durch die von den Wechselwirkungskräften erzeugte Bewegung ergeben. Es wird die unstetige rechte Seite des Differentialgleichungssystems zunächst geglättet - die dabei entstehenden Teilchenbahnen werden mit \((x_ j^{\epsilon}[\beta](t)\), \(v_ j^{\epsilon}[\beta](t))\), \(j\in {\mathbb{Z}}^ 2\) bezeichnet, wobei j das Simulationsteilchen, \(\beta =\Delta x+\Delta v\) die Größe des Rechteckgitters und \(\epsilon\) den Glättungsparameter bezeichnet. Die Teilchenbahnen werden mit den Charakteristiken der Vlasov-Gleichungen mit den entsprechenden Anfangspunkten verglichen, die mit \((x_ j(t),v_ j(t))\) bezeichnet werden; außerdem wird das simulierte elektrische Feld \(E^{\epsilon}_{\beta}\) mit dem durch die Vlasov-Gleichung gegebenen Feld E in der \(L_{\infty}\)-Norm verglichen. Das Hauptergebnis der Arbeit lautet in etwa: Gilt für die Anfangsverteilung \[ | D^{\alpha}\overset \circ f(x,v)|\leq C(1+| v|)^{- \gamma}\text{ mit }\gamma >1 \] für alle \(|\alpha |\leq m+1\leq\tilde k\), so existiert ein C(T), so daß für \(t\in [0,T]\) gilt: \(\max_{j}(| x_ j^{\epsilon}[\beta](t)-x_ j(t)| +| v_ j^{\epsilon}[\beta](t)-v_ j(t)| +\| E^{\epsilon}_{\beta}(t,\cdot)-E(t,\cdot)\|_{\infty}\leq C(T)(\epsilon^{\tilde k}+(\beta^{m+1}/\epsilon^ m)).\) Konvergenz ergibt sich also für \(\beta /\epsilon =O(1)\) und ist von bel. Ordnung, wenn \(\epsilon =c\beta^ r\), \(0<r<1\) und m, \(\tilde k\) genügend groß sind. Diese scharfen Konvergenzaussagen stellen den eigentlichen Fortschritt der Arbeit dar; die Betrachtung unendlicher Teilchensysteme mindert allerdings etwas den praktisch-numerischen Wert der Ergebnisse.

Reviewer: H.Neunzert

MSC:

65Z05	Applications to the sciences
65N99	Numerical methods for partial differential equations, boundary value problems
76X05	Ionized gas flow in electromagnetic fields; plasmic flow
35Q99	Partial differential equations of mathematical physics and other areas of application

Keywords:

Vlasov-Poisson equations; evolution of a noncollisional plasma; convergence; particle method; periodic; kinetic equations