A survey of trace forms of algebraic number fields. (English) Zbl 0551.10017

Conner, P. E.; Perlis, R.

Series in Pure Mathematics, 2. Singapore: World Scientific. Distr. by John Wiley & Sons Ltd., Chichester. IX, 316 p. hbk: £33.00; $ 39.70; pbk: £17.65 (1984).

Jeder endlichen separablen Körpererweiterung F/K entspricht eine symmetrische K-bilineare Form \(B: F\times F\to K\), die durch \(B(x,y)=S(xy)\) definiert ist, wo S die Spur von F bezüglich K bezeichnet. Es ist das Hauptziel des Buches, eine Klassifizierung dieser Formen zu erreichen, vor allem in den Fällen, wo K ein globaler oder lokaler Zahlkörper ist. Die obige von einer endlichen separablen Körpererweiterung F/K herrührende K-bilineare Form definiert ein Element \(<F>\) im Wittschen Ring W(K). Diese Elemente werden die algebraischen Wittklassen von W(K) genannt. Falls F/K normal, bzw. abelsch ist, heisst \(<F>\) normal, bzw. abelsch. Diese Wittklassen werden penetrierenden Untersuchungen unterworfen.
Ein Hauptergebnis ist die folgende Charakterisierung der algebraischen Wittklassen über dem rationalen Zahlkörper \({\mathbb{Q}}\). Eine Wittklasse \(<X>\) ist algebraisch über \({\mathbb{Q}}\) dann und nur dann, wenn die Signatur von X nicht-negativ ist. (Die ”nur dann” Hälfte dieses Satzes geht auf Olga Taussky zurück.) Die abelschen Wittklassen über \({\mathbb{Q}}\) sind multiplikativ, aber nicht additiv abgeschlossen. Ferner wird der überraschende Satz bewiesen, daß jede normale Wittklasse über \({\mathbb{Q}}\) abelsch ist. Die Kreisteilungsklassen \(<{\mathbb{Q}}(e^{2\pi i/n})>\) werden vollständig beschrieben, und ein ganzes Kapitel behandelt explizite Spurformen über \({\mathbb{Q}}\). Für beliebige endliche algebraische Zahlkörper bleiben hier noch viele Fragen offen. Das Buch enthält in diesem Fragenkreis eine Fülle von interessanten Einzelergebnissen; hier sei bloß das kuriose Resultat erwähnt, daß jede Wittklasse über einem die Zahl \(\sqrt{-2}\) enthaltenden Zahlkörper algebraisch ist.
Für lokale Körper wird u.a. gezeigt, daß genau 12 der insgesamt 16 Wittklassen über dem p-adischen Körper \({\mathbb{Q}}_ p\) algebraisch sind, wenn p eine ungerade Primzahl ist. (Der Fall \(p=2\) bleibt offen.) Ferner wird - für ungerades p - gezeigt, daß eine durch die Spurform einer normalen Erweiterung von \({\mathbb{Q}}_ p\) darstellbare Wittklasse stets durch die Spurform einer regulär-verzweigten abelschen Erweiterung vom Grade \(\leq 8\) dargestellt werden kann.
Durch Restriktion der Spurform einer Erweiterung K/\({\mathbb{Q}}\) auf den Ring der ganzen Zahlen in K erhält man eine Form mit ganzzahlige Koeffizienten. Diese Formen werden vor allem in den Fällen untersucht, wo K/\({\mathbb{Q}}\) zyklisch von Primzahlgrad ist.
Falls K/\({\mathbb{Q}}\) eine endliche normale Erweiterung ist, operiert die Galoissche Gruppe Gal(K/\({\mathbb{Q}})\) als eine Isometriegruppe auf der Spurform, und ein Kapitel des Buches behandelt den entsprechenden äquivarianten Wittring, vornehmlich in dem Fall, wo [K:\({\mathbb{Q}}]\) ungerade ist.
Das letzte Kapitel enthält mehrere Anwendungen der allgemeinen Theorie der Spurformen. Als Kostprobe sei hier das folgende Resultat angegeben. Die Primzahl 2 ist irregulär (wild) verzweigt im Zahlkörper \({\mathbb{Q}}(\alpha)\), wo \(\alpha\) eine Wurzel eines irreduziblen Polynoms \(X^ 5+aX+b\in {\mathbb{Q}}[X]\) mit Diskriminante \(\in {\mathbb{Q}}^ 2\) ist.
Das Buch ist in einem klaren und leicht lesbaren Stil geschrieben und enthält eine Fülle von interessanten Ergebnissen. Die vielen noch offen gelassenen Fragen deuten an, daß weitere Untersuchungen in diesem Gebiet sich lohnen mögen. Das Buch kann jedem, der sich für algebraische Zahlentheorie interessiert, sehr empfohlen werden.

Reviewer: C.U.Jensen

MSC:

11E12	Quadratic forms over global rings and fields
11E08	Quadratic forms over local rings and fields
12-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to field theory
11-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11E16	General binary quadratic forms
11R99	Algebraic number theory: global fields
11S15	Ramification and extension theory

Keywords:

symmetric bilinear form; finite separable field extension; trace forms; trace of algebraic number fields; algebraic Witt classes; Witt ring; abelian Witt classes; normal Witt classes; cyclotomic classes; equivariant Witt ring; finite normal extension; Galois group; applications; wildly ramified primes