×

zbMATH — the first resource for mathematics

Problèmes de Neumann non linéaires sur les variétés riemanniennes. (French) Zbl 0552.58032
L’A. étudie sur une variété riemannienne compacte à bord \(C^{\infty}\), des équations elliptiques non linéaires du type \(\Delta \phi =f(\phi,x)\), avec des données au bord de Neumann non linéaires \(\partial \phi \setminus \partial n=g(\phi,y)\). Il utilise la méthode variationelle avec contraintes, ainsi que la méthode des sur et sous-solutions. L’existence d’une solution faible est montrée en utilisant les travaux faits par l’A. sur le cas d’exception du théorème de Sobolev. La régularité au bord de la solution faible est obtenue moyennant d’astucieuses considérations.
L’A. étudie plus particulièrement les équations correspondant au cas limite où f et g ont des croissances en \(\phi\) maximum. L’existence d’une solution suppose alors une hypothèse où interviennent les meilleurs constantes dans les inégalités de Sobolev et celles du cas d’exception. Ces résultats sont appliqués à un problème géométrique posé par l’A. comme extension du problème de Yamabe. Il s’agit moyennant un déformation conforme de la métrique de donner à la courbure scalaire de la variété et à la courbure moyenne (resp. géodésique si \(n=2)\) de son bord des valeurs prescrites. Les cas \(n=2\) et \(n\geq 3\) sont traités à part les équations étant très différentes.
Reviewer: T.Aubin

MSC:
58J32 Boundary value problems on manifolds
58J60 Relations of PDEs with special manifold structures (Riemannian, Finsler, etc.)
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
[1] Adams, R.A., Sobolev spaces, (1975), Academic Press New York · Zbl 0186.19101
[2] Agmon, S., The Lp approach to the Dirichlet problem, Ann. scuola norm. sup. Pisa cl. sci. (4), 13, 49-92, (1959)
[3] Aubin, T., Sur la fonction exponentielle, C. R. acad. sci. Paris Série A, 270, 1514-1516, (1970) · Zbl 0197.47802
[4] Aubin, T., Equations différentielles non linéaires, Bull. sci. math. (2), 99, 201-210, (1975) · Zbl 0321.35039
[5] Aubin, T., Espaces de Sobolev sur LES variétés riemanniennes, Bull. sci. math. (2), 100, 149-173, (1976) · Zbl 0328.46030
[6] Aubin, T., Equations différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire, J. math. pures appl. (9), 55, 269-296, (1976) · Zbl 0336.53033
[7] Aubin, T., Meilleures constantes dans le théorème d’inclusion de Sobolev et un théorème de Fredholm non linéaire pour la transformation conforme de la courbure scalaire, J. funct. anal., 32, 148-174, (1979) · Zbl 0411.46019
[8] Berger, M.S., On Riemannian structures of prescribed Gauss curvature for compact two-manifolds, J. differential geom., 5, 325-332, (1971) · Zbl 0222.53042
[9] Cherrier, P., Cas d’exception du théorème d’inclusion de Sobolev sur LES variétés riemanniennes et applications, Bull. sci. math. (2), 105, 235-288, (1981) · Zbl 0471.58026
[10] Cherrier, P., Problèmes de Neumann non linéaires sur LES variétés riemanniennes, C. R. acad. sci. Paris Série A, 292, 637-640, (1981) · Zbl 0471.58024
[11] Cherrier, P., Meilleures constantes dans des inégalités relatives aux espaces de Sobolev, Bull. sci. math. (2), 108, (1984) · Zbl 0547.58017
[12] Kazdan, J.L.; Warner, F.W., Curvature functions for compact two-manifolds, Ann. of math., 99, 14-47, (1974) · Zbl 0273.53034
[13] Ladyzhenskaya, O.A.; Ural’tseva, N.N., Linear and quasilinear elliptic equations, (1968), Academic Press New York · Zbl 0164.13002
[14] Moser, J., A sharp form of an inequality by trüdinger, Indiana univ. math. J., 20, 1077-1092, (1971) · Zbl 0213.13001
[15] Trüdinger, N.S., On imbeddings into Orlicz spaces and some applications, J. math. phys., 17, 473-484, (1967) · Zbl 0163.36402
[16] Trüdinger, N.S., Remarks concerning the conformal deformation of Riemannian structures on compact manifolds, Ann. scuola norm. sup. Pisa. cl. sci. (4), 22, 265-274, (1968) · Zbl 0159.23801
[17] Yamabe, H., On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds, Osaka J. math., 12, 21-37, (1960) · Zbl 0096.37201
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.