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The theory of Jacobi forms. (English) Zbl 0554.10018
Progress in Mathematics, Vol. 55. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser. v, 148 p. DM 46.00 (1985).
Jacobiformen vom Gewicht \(k\) und Index \(m\) sind holomorphe Funktionen \(\Phi(\tau,z)\) der Variablen \(z\in \mathbb C\) und \(\tau\in\mathbb H\) (= obere Halbebene), welche den Transformationsgesetzen \[ \Phi (\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\,,\frac{z}{c\tau +d})=(c\tau +d)^ k e(\frac{mcz}{c\tau +d}) \Phi (\tau,z)\quad (\left( \begin{matrix} a b\\ c d\end{matrix} \right)\in\text{SL}_ 2({\mathbb Z})) \] \[ \Phi (\tau,z+\lambda \tau +\mu)=e(- m\lambda^ 2-2m\lambda z) \Phi (\tau,z)\quad ((\lambda,\mu)\in\mathbb Z^ 2) \] genügen und eine Fourierentwicklung der Gestalt \[ \Phi (\tau,z)=\sum^{\infty}_{n=0}\sum_{{r\in\mathbb Z}\atop{r^ 2\leq 4nm}} c(n,r) e(n\tau +rz) \] besitzen \((e(x):=e^{2\pi ix})\). Beispiele solcher Funktionen sind schon seit langem bekannt (Thetafunktionen), das vorliegende Buch stellt aber die erste systematische Untersuchung dieser Funktionen dar.
Für \(z=0\) gehen Jacobiformen in elliptische Modulformen der Variablen \(\tau\) über, und in der Tat bewegen sich die Untersuchungen der Kapitel I und III im Rahmen der durch die klassische Theorie vorgegebenen Fragestellungen. So kann man etwa den (endlich-dimensionalen) Raum \(J_{k,m}\) aller Jacobiformen vom Gewicht \(k\) und Index \(m\) zerlegen in Eisensteinreihen und Spitzenformen, und man kann verschiedene Typen von Heckeoperatoren einführen und untersuchen. Heikler als im klassischen Fall ist das Problem der Dimensionsformeln, das nur für große Gewichte \((k\geq m)\) vollständig behandelt wird. Ausführlich wird in Kapitel III der graduierte Ring \(\oplus_{k,m}J_{k,m}\) untersucht; dieser erweist sich als nicht endlich erzeugbar, was die Untersuchungen erschwert. Die genannten Teile des Buches sind für jeden Interessenten mit (geringen) Vorkenntnissen über gewöhnliche Modulformen leicht lesbar.
Den Kern des Buches bildet aber das zweite Kapitel, das dem Zusammenhang zwischen Jacobiformen und anderen Typen von Modulformen gewidmet ist und etwas höhere Ansprüche an den Leser stellt. Jacobiformen treten zum einen auf als Koeffizienten in der Fourier-Jacobi-Entwicklung Siegelscher Modulformen zweiten Grades; zum anderen gestattet jede Jacobiform \(\Phi \in J_{k,m}\) eine Entwicklung der Gestalt \[ \Phi (\tau,z)=\sum_{\mu \bmod 2m}h_{\mu}(\tau) \Theta_{\mu}(\tau,z), \] wobei die \(\Theta_{\mu}\) gewisse Thetafunktionen sind und die \(h_{\mu}\) Modulformen vom halbganzen Gewicht \(k-\tfrac12\) darstellen. Diese Zusammenhänge werden ausführlich studiert; sie führen zu einem Beweis der Saito-Kurokawa-Vermutung über die Korrespondenz zwischen der Maaßschen “Spezialschar” vom Gewicht \(k\) und den gewöhnlichen Modulformen vom Gewicht \(2k-2\) [vgl. D. Zagier, Théorie des Nombres, Sémin. Delange-Pisot-Poitou, Paris 1979/80, Prog. Math. 12, 371–394 (1981; Zbl 0456.10011)]. Es war diese Vermutung, die die Verfasser zum systematischen Studium der Jacobiformen geführt hat. Ein Kapitel IV des vorliegenden Werks (vom zweiten Autor) ist in Vorbereitung und soll Spurformeln für Heckeoperatoren behandeln (vgl. das nachfolgende Referat).
Die Verfasser haben versucht, ”to give an exposition as elementary and understandable as possible”. Das ist ihnen in jeder Hinsicht gelungen. Die Aktualität des behandelten Stoffes wird noch unterstrichen durch Anwendungen, die die Jacobiformen in jüngster Zeit in der Theorie der Heegner-Punkte auf Modulkurven gefunden haben; Arbeiten dazu von B. Gross, W. Kohnen und D. Zagier sind in Vorbereitung.

MSC:
11F50 Jacobi forms
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory