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Microdifferential systems in the complex domain. (English) Zbl 0554.32022

Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 269. Berlin etc.: Springer-Verlag. X, 214 p. DM 98.00; $ 34.40 (1985).
La théorie des \({\mathcal D}\)-modules (ou des \({\mathcal E}\)-modules), \({\mathcal D}\) (respectivement \({\mathcal E})\) désignant le faisceau d’opérateurs différentiels linéaires (respectivement d’opérateurs microdifférentiels) sur une variété analytique, a permis d’obtenir de nombreux résultats importants concernant les systèmes d’équations linéaires aux derivées partielles, aussi bien dans le cas analytique réel que dans celui complexe.
Ce livre fournit une introduction claire, systématique et aussi élémentaire que possible à la théorie dans le cas complexe. L’auteur réussit à démythiser ainsi au sujet dont l’abord pourrait présenter certains difficultés à un analyste de formation ”classique”.
Le livre a 3 chapitres. Le premier, ”Microdifferential operators” contient d’abord la construction du faisceau d’opérateurs microdifférentiels \({\mathcal E}_ X\) \((X =\) variété analytique complexe), les théorèmes de division de type Weierstrass, et le théorème de Cauchy-Kowalewski précisé (c’est d’ailleurs le seul résultat ”d’analyse” profond). Le théorème de Cauchy-Kowaleski est démontré à l’aide d’un résultat ”de type Ovciannikov”, et contient comme cas particulier le théorème de Cauchy-Kowalewski dans la version precisée due à Leray. Le § 4 du premier chapitre introduit les modules microdifférentiels associés à une sousvariété Z, directe, respectivement à un morphisme \(f: Y\to X\), à savoir \({\mathcal B}_{Z| X}\), \({\mathcal C}_{Z| X}\), \({\mathcal E}_{Y\to X}\); cela se fait directement, de façon noncohomologique, ce qui est certainement plus élémentaire. Le § 5, ”transformation de contact quantifiée” est essentiel pour la suite; comme application on donne au § 6 la caractérisation des modules holonomes à caractéristiques simples.
Le 2e chapitre, ”\({\mathcal E}_ X\)-modules” dédié à l’étude de la structure algébrique du faisceau \({\mathcal E}_ X\) et des opérations que l’on peut faire avec les \({\mathcal E}_ X\)-modules. Après le § 1 de nature algébrique (filtrations, filtrations de Zariski, idéal caractéristique etc. - le résultat de Gabber sur l’involuvité de l’idéal caractéristique est seulement énoncé), on passe à l’étude de la structure de \({\mathcal E}_ X\) (propriété d’être noethérien, résultats de platitude, de cohérence, etc.), on montre que les \({\mathcal E}_ X\)-modules cohérents peuvent naturellement être considérés comme des systèmes d’équations microdifférentielles, on démontre (théorème 2.3.1) l’involutivité de Char(\({\mathcal M})\) par rapport à la structure simplectique de \(T^*X\), on introduit le cycle caractéristique d’un tel module \({\mathcal M}\) et l’on étudie les \({\mathcal E}xt^ i_{{\mathcal E}_ X}({\mathcal M},{\mathcal E}_ X)\), respectivement \({\mathcal E}xt^ i_{{\mathcal E}_ X}({\mathcal M},{\mathcal N}).\)
L’A. passe ensuite brièvement aux \({\mathcal E}_ X\)-modules holomorphes (voir les propositions 2.4.3, et 2.4.5) et aux \({\mathcal D}_ X\)-modules. Enfin, le § 3, décrit les opérations sur les \({\mathcal E}_ X\)- modules, et est fondamental (ainsi on définit \({\hat \otimes}\), l’image inverse par une application non caractéristique, l’image directe de \({\mathcal E}_ X\)-modules). On montre que \({\mathcal B}_{Z| X}\) peut se définir de manière cohomologique, et on donne différents isomorphisms canoniques pour \({\mathcal B}_{Z| X}\), différentes opérations sur \({\mathcal C}_{Z| X}\) ainsi que divers isomorphismes canoniques. Lorsque \({\mathcal M}\) correspond ”à une équation à une inconnue”, i.e. \({\mathcal M}\simeq {\mathcal E}_ X/{\mathcal E}_ X^ p\) on donne (en suivant Sato-Kashiwara-Kawai) des précisions supplémentaire concernant l’image inverse.
Le troisième chapitre ”Cauchy problem and propagation” illustre les techniques developpées auparavant et contient quelques résultats très récents de Kashiwara-Schapira. On étudie d’abord en détail la microvarieté caractéristique et la 1-microvariété caractéristique attaché à un \({\mathcal O}_ X\)-module cohérent (resp. à une \({\mathcal E}_ X\)-module cohérent), les variétés caractéristiques associées à une submersion, celles microcaractéristiques associées à une immersion, et enfin la variété caractéristique d’un système induit sur une sousvariété. Le § 2 est dédié au problème de Cauchy; on démontre la version de Kashiwara du théorème de Cauchy-Kowalewski (théorème 2.1.4) et l’A. donne comme (belle) application le problème de Cauchy avec les données se ramifiant le long de hypersurfaces (le résultat central est le théorème 2.2.1, dont on déduit, dans le cas d’une seule équation les résultats de J. Leray [Bull. Soc. Math. Fr. 85, 389-429 (1957; Zbl 0108.095)] et de Y. Hamada [Publ. Res. Inst. Math. Sci. 5, 21-40 (1969; Zbl 0203.407)]. Enfin, le § 3 est dédié à l’étude de la propagation, le résultat principal étant le théorème 3.1.2 (pour un seul opérateur) et le théorème 2.3.3 lequel s’exprime comme un théorème d’annulation.
Le dernier paragraphe, consacré à la constructibilité, contient une étude microlocale des stratifications de Whitney, certains résultats récents de Kashiwara et de l’A. concernant l’étude microlocale de faisceaux, ainsi que l’important résultat de Kashiwara sur la constructibilité des ”solutions” de tout \({\mathcal D}_ X\)-module holonome.
Quatre appendices (A: Géométrie simplectique, B: Algèbre homologique, C: Faisceaux, \(D: {\mathcal O}_ X\)-modules) seront utiles au lecteurs, ainsi que des nombreux exercises placés à la fin de chaque paragraphe.
Il s’agit d’un ouvrage qui deviendra rapidement une référence de base.
Reviewer: G.Gussi

MSC:

32L05 Holomorphic bundles and generalizations
58-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to global analysis
32-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to several complex variables and analytic spaces
35-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to partial differential equations
35A10 Cauchy-Kovalevskaya theorems
14-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic geometry
58J10 Differential complexes
14F10 Differentials and other special sheaves; D-modules; Bernstein-Sato ideals and polynomials
32K15 Differentiable functions on analytic spaces, differentiable spaces