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Noncommutative microlocal analysis. I. (English) Zbl 0554.35025
Mem. Am. Math. Soc. 313, 182 p. (1984).
De même que les opérateurs pseudodifférentiels classiques sur \({\mathbb{R}}^ n\) sont modelés sur des familles \(C^{\infty}\) d’opérateurs de convolution sur \({\mathbb{R}}^ n\), d’autres classes importantes d’opérateurs pseudo différentiels peuvent être construites en les modelant sur des familles \(C^{\infty}\) d’opératurs de convolution sur des groupes de Lie non commutatifs, dont le premier prototype non commutatif est le groupe de Heisenberg. De nombreuses contributions ont été faites dans ce domaine par Folland-Stein, Rothschild-Stein, Boutet de Monvel, Beals-Greiner, A. Melin, etc..., particulièrement pour l’étude de l’hypoellipticité d’opérateurs pseudodifférentiels à caractéristiques multiples.
Cette monographie est consacrée à une présentation originale de telles classes. Comme application, l’auteur redémontre un certain nombre de résultats classiques de la théorie. Deux appendices très intéressants sont de plus consacrés au calcul de Weyl et aux opérateurs de Toeplitz. L’auteur donne en particulier une démonstration nouvelle et élégante d’un théorème d’isomorphisme entre une algèbre d’opérateurs pseudodifférentiels globaux sur \({\mathbb{R}}^ n\) et une algèbre d’opérateurs de Toeplitz sur la boule unité de \({\mathbb{C}}^ n\) permettant en particulier de faire le lien entre des résultats de théorie spectrale pour les Toeplitz (Boutet de Monvel-Guillemin) et des résultats sur les opérateurs globaux sur \({\mathbb{R}}^ n\) (Guillemin-Steinberg, Helffer-Robert). L’ouvrage est très intéressant.
Reviewer: B.Helffer

MSC:
35H10 Hypoelliptic equations
35S05 Pseudodifferential operators as generalizations of partial differential operators
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