Application of Rothe’s method to perturbed linear hyperbolic equations and variational inequalities. (English) Zbl 0554.35086

Kačur, Jozef

Czech. Math. J. 34(109), 92-106 (1984).

Es wird das folgende Anfangswert-Randwertproblem untersucht: \[ (1)\quad u_{tt}+\sum_{| i|,| j| \leq k}(-1)^{| i|}D^ i(a_{ij}(x)D^ ju)=f(t,x,u,\nabla u,...,\nabla^ ku) \]
\[ (2)\quad u(x,0)=U_ 0(x),\quad \partial u(x,0)/\partial t=U_ 1(x),\quad x\in \Omega, \]
\[ (3)\quad u|_{\partial \Omega}=\phi. \] Es ist \(t\in I=(0,T);\) \(\Omega \subseteq {\mathbb{R}}^ N\) ist ein beschränktes Gebiet mit Lipschitz-Rand.
(1), (2), (3) wird abstrakt formuliert: \(V\) sei Hilbert-Raum mit \(W^ k_ 2(\Omega)\subset V\subset \overset\circ W^ k_ 2(\Omega),\) \(H=L_ 2(\Omega)\). A sei linearer stetiger Operator \(V\to V^*\) und \(<Au,u>=\| u\|^ 2_ V.\) \(F=F(t,u)\) sei ein linearer Operator: \(I\times V\to H\) mit \[ | F(t,u)-F(t',v)| \leq L(| t-t'| +| t-t'| \| v\| +\| u-v\|). \] Gesucht ist \(u:(0,T)\to V\) mit \(\partial^ 2u(t)/\partial t^ 2\in H\) und \((4)\quad \partial^ 2u(t)/\partial t^ 2+Au(t)=F(t,u(t))\) für fast alle \(t\in I\), (5) \(u(0)=U_ 0\in V\), \(\partial u(0)/\partial t=U_ 1\in V\). (4) wird die lineare elliptische Variationsgleichung für \(u_ i\in V\), \(i=1,...,n\), \[ | (u-2u_{i-1}+u_{i+2})/h,\quad v|_{L_ 2}+<Au,v>=(F(t_ i,u_{i-1}),v)_{L_ 2} \] für alle \(v\in V\) zugeordnet mit passenden \(u_ 0\), \(u_{-1}\). Mit \(u_ i\) werden Rothes Funktionen \(u_ n=u_ n(t)\), \(t_{i-1}\leq t\leq t_ i\), gebildet. Es wird gezeigt, daß die \(u_ n\) gegen eine Lösung u von (4), (5) konvergieren: \[ (\partial^ 2u(t)/\partial t^ 2,v)_{L_ 2}+<Au(t),v>=(F(t,u(t)),v)_{L_ 2},\quad v\in V,\quad t\in (0,T)\text{ fast überall}. \] Es werden Existenz-, Eindeutigkeits- und Regularitätssätze für (4), (5) bzw. (1), (2), (3) bewiesen; z. B. der folgende Existenzsatz:
Es gelte \(AU_ 0\in H\). Dann existiert genau eine Funktion u, die (4), (5) genügt, mit: \(u\in C(I,V),\) \(du/dt\in L_{\infty}(I,V)\cap C(I,H),\) \(d^ 2u/dt^ 2\in L_{\infty}(I,H),\) \(Au\in L_{\infty}(I,H).\) Für alle \(t\in I\) gilt die Abschätzung: \[ | du_ n(t)/dt-du(t)/dt|^ 2_{L_ 2}+\| u_ n(t)-u(t)\|^ 2_ V\leq C/n. \] Gilt \(a_{ij}\in C^{r_ i,1}({\bar \Omega})\) mit \(r_ i=\max \{0,| i| +\ell -k\}\), \(0\leq \ell \leq k\), dann folgt \(u\in L_{\infty}(I,W_ 2^{k+\ell}(\Omega ')),\) \(\Omega\) ’\(\subset \subset \Omega\). Analoge Ergebnisse werden formuliert und bewiesen für eine (4), (5) zugeordnete hyperbolische Variationsungleichung.

Reviewer: A.Müller-Rettkowski

MSC:

35L75	Higher-order nonlinear hyperbolic equations
35L85	Unilateral problems for linear hyperbolic equations and variational inequalities with linear hyperbolic operators
35A15	Variational methods applied to PDEs
35J35	Variational methods for higher-order elliptic equations
35B45	A priori estimates in context of PDEs
35B65	Smoothness and regularity of solutions to PDEs
35B30	Dependence of solutions to PDEs on initial and/or boundary data and/or on parameters of PDEs

Keywords:

existence; uniqueness; regularity; Tothe’s method; perturbed linear hyperbolic equations; direct variational methods; hyperbolic inequalities

References:

[1]	M. Pultar: Solution of evolution equations of hyperbolic type by the method of Rothe. To appear. · Zbl 0575.65089
[2]	K. Rektorys: On application of direct variational methods to the solution of parabolic boundary value problems of arbitrary order in the space variables. Czech. Math. J., 21 (96) 1971, 318-339. · Zbl 0217.41601
[3]	J. Kačur A. Wawruch: On an approximate solution for quasilinear parabolic equations. Czech. Math. J., 27 (102) 1977, 220-241. · Zbl 0377.35036
[4]	J. Nečas: Application of Rothe’s method to abstract parabolic equations. Czech. Math. J., 24 (99), 1974, N-3, 496-500. · Zbl 0311.35059
[5]	I. Bock J. Kačur: Application of Rothe’s method to parabolic variational inequalities. Math. Slovaca 31, 1981, N-4, 429-436. · Zbl 0477.49008
[6]	Bubeník F.: To the problems of solution of hyperbolic problems by Rothe’s method. (Czech), Praha 1980, Thesis
[7]	J. Streiblová: Solution of the hyperbolic problem by Rothe’s method. (Czech), Praha 1978, Thesis
[8]	J. Nečas: Les méthodes directes en théorie des équations elliptiques. Academia, Prague, 1967. · Zbl 1225.35003
[9]	H. Brezis: Operateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans espaces de Hilbert. North-Holand, Amsterdam, 1973.
[10]	Y. Komura: Nonlinear semigroups in Hilbert spaces. J. Math. Soc. Japan, 19 (1967), 493-507. · Zbl 0163.38302
[11]	A. Kufner O. John S. Fučik: Function Spaces. Academia, Prague 1977.
[12]	J. L. Lions: Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires. Dunod-Gauthier-Villars, Paris 1969. · Zbl 0189.40603
[13]	G. Duvaut J. L. Lions: Inequalities in Mechanics and Physics. Springer Verlag, 1976. · Zbl 0331.35002