Géodésiques complexes et points fixes d’applications holomorphes. (French) Zbl 0555.32015

Vigué, Jean-Pierre

Adv. Math. 52, 241-247 (1984).

Si D est un domaine borné de \({\mathbb{C}}^ n\), on dit qu’une application holomorphe \(\phi: \Delta \to D\) du disque-unité ouvert \(\Delta\) dans D est une géodésique complexe si \(\phi\) est une isométrie pour les distances de Carathéodory \(c_{\Delta}\) et \(c_ D\). Un résultat de Lempert, Royden et Wong montre l’existence de nombreuses géodésiques complexes dans un domaine borné convexe D. Ceci me permet de montrer que, si D est un domaine borné convexe de \({\mathbb{C}}^ n\), et si \(f: D\to D\) est une application holomorphe ayant deux points fixes distincts x et y, il existe une géodésique complexe \(\phi: \Delta \to D\) passant par x et y, et telle que son image \(\phi\) (\(\Delta)\) soit formée de points fixes de f. J’étudie aussi l’ensemble des points fixes des automorphismes analytiques d’un domaine borné symétrique d’un espace de Banach complexe.

MSC:

32F45	Invariant metrics and pseudodistances in several complex variables
53C22	Geodesics in global differential geometry
58C30	Fixed-point theorems on manifolds

Keywords:

complex geodesics; Carathéodory metric; fixed points of holomorphic mapping

References:

[1]	Franzoni, T; ’Vesentini, E, Holomorphic maps and invariant distances, (1980), North-Holland Amsterdam · Zbl 0447.46040
[2]	Harris, L, Schwarz-Pick system of pseudometrics for domains in normed linear spaces, (), 345-406
[3]	Kobayashi, S, Intrinsic distances, measures and geometric function theory, Bull. amer. math. soc., 82, 357-416, (1976) · Zbl 0346.32031
[4]	Vesentini, E, Complex geodesics, Compositio math., 44, 375-394, (1981) · Zbl 0488.30015
[5]	Vesentini, E, Complex geodesics and holomorphic maps, (), 211-230
[6]	Vigué, J.-P, Le groupe des automorphismes analytiques d’un domaine borné d’un espace de Banach complexe, Application aux domaines bornés symétriques, Ann. sci. ecole norm. sup., 9, 4, 203-282, (1976) · Zbl 0333.32027
[7]	Vigué, J.-P, LES domaines bornés symétriques d’un espace de Banach complexe et LES systèmes triples de Jordan, Math. ann., 229, 223-231, (1977) · Zbl 0344.32024
[8]	Viguě, J.-P, Domaines bornés symétriques dans un espace de Banach complexe, (), 95-104