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On quadratic integral inequalities associated with second-order symmetric differential expressions. (English) Zbl 0556.26006

Ordinary differential equations and operators, A Trib. to F. V. Atkinson, Proc. Symp., Dundee/Scotl. 1982, Lect. Notes Math. 1032, 170-223 (1983).
[For the entire collection see Zbl 0514.00013.]
Es handelt sich um einen sehr umfassenden Bericht über die Integralungleichung \[ (1)\quad \int^{b}_{a}(p| f'|^ 2+q| f|^ 2)\geq \mu \int^{b}_{a}w| f|^ 2 \] und ihre Beziehung zu den Spektraleigenschaften des Differentialoperators \((2)\quad T(f):=w^{-1}(-(pf')'+qf).\) a,b sind Endpunkte eines endlichen oder unendlichen Intervalls I \((-\infty \leq a<b\leq \infty).\) Für die auf I meßbaren Funktionen p, q und w genügen im ”regulären” Fall bei kompaktem Intervall \([a,b]\) die ”Grundvoraussetzungen”: \(p^{- 1},q,w\in L_{loc}(I),\) \(p(x),w(x)>0.\) In (1) und (2) sind komplexwertige Funktionen f aus einem Hilbertraum \(H_ 0\subset L^ 2_ w\) (mit \(\int^{b}_{a}w| f|^ 2<\infty\) und innerem Produkt \((f,g)_ 0:=\int^{b}_{a}wf\bar g)\) zugelassen. In \(H_ 0\) sind 3 lineare Mannigfaltigkeiten wichtig: \(D\) besteht aus den Funktionen \(f\), für welche die Integrale in (1) absolut konvergieren, \(\Delta\) ist der Definitionsbereich des maximalen Operators \(T(f)\) in \(H_ 0\), und schließlich ist \(D(T)\) die Einschränkung von \(\Delta\) auf solche Funktionen, für welche die Grenzwerte \(\lim_{a^+} pf'g=0\) und \(\lim_{b^{-1/2}} pf'g=0\) \((g\in D)\) vorhanden sind. Diese Zusatzforderungen hängen mit dem Verhalten des Differentialausdrucks (2) an den Intervallenden zusammen (Grenzpunkt - und Grenzkreisfall sowie Dirichletsche Bedingung \(\Delta \subset D).\)
In Hauptsatz (Satz 1) werden im Hinblick auf die ”singulären” Fälle neben den Bedingungen, daß T in \(H_ 0\) selbstadjungiert und \(D(T)\subset D\) ist, noch die zusätzlichen Bedingungen erhoben: Es ist \(q=q_ 1+q_ 2\) mit \(q_ i\in L_{loc}(I),\) wobei \(q_ 1(x)+Aw(x)\geq 0\) (fast überall auf I) mit einem \(A\in [0,\infty)\) und \[ \int^{b}_{a}| q_ 2| | f|^ 2\leq k\int^{b}_{a}p| f'|^ 2+K\int^{b}_{a}w| f|^ 2 \] für zwei Zahlen \(k\in [0,1]\) und \(K\in (0,\infty)\) gilt. Dann ist \(T\) in \(H\) nach unten beschränkt, und es existiert \(\mu:=\inf \{(Tf,f)_ 0:f\in D(T)\quad und\quad \| f\|_ 0=1\}.\) Mit diesem \(\mu\) gilt Ungleichung (1) für \(f\in D;\) das Gleichheitszeichen wird erreicht und ausführlich diskutiert. Um die Anwendung des Satzes zu erleichtern, werden in Satz 2 explizite Bedingungen über p,q und w angegeben. Beispielweise sind die Voraussetzungen erfüllt, wenn \(| q(x)| \leq Aw(x)\) (f.ü. auf \([a,b))\) für ein \(A\in (0,\infty)\) gilt. Satz 3 gibt für diesen Fall eine vollständige Klassifikation des Differentialausdrucks (2) in dem singulären Endpunkt (b). Zahlreiche Beispiele aus der Literatur (viele von Everitt und Mitarbeitern) stellen sich als Sonderfälle des Hauptsatzes dar; weitere interessante Beispiele illustrieren besondere singuläre Fälle.
Zum Schluß werden die Ergebnisse des Hauptsatzes noch einmal bewiesen und zwar über die Theorie der Sesquilinearformen. Die betrachtete Sesquilinearform ist \[ \tau (f,g):=\int^{b}_{a}(pf'\bar g'+qf\bar g) \] mit f,g\(\in D\); die zugehörige quadratische Form ist das Dirichletsche Integral \(\tau (f):=\int^{b}_{a}\{p| f'|^ 2+q| f|^ 2\}.\)
Reviewer: E.Beck

MSC:

26D10 Inequalities involving derivatives and differential and integral operators
47A30 Norms (inequalities, more than one norm, etc.) of linear operators
34L99 Ordinary differential operators
34A40 Differential inequalities involving functions of a single real variable
47E05 General theory of ordinary differential operators

Citations:

Zbl 0514.00013