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Nonlinear scalar field equations. II: Existence of infinitely many solutions. (English) Zbl 0556.35046
[Teil I, ibid., 313-345 (1983; Zbl 0533.35029).] - Es sei $N\ge 3$ und $g: {\bbfR}\to {\bbfR}$ sei eine stetige, ungerade Funktion, die den folgenden Bedingungen genügt: $(1)\quad -\infty <\underline{\lim}\sb{s\to 0}g(s)/s\le \overline{\lim}\sb{s\to 0}g(s)/s=- m<0,$ $(2)\quad -\infty \le \overline{\lim}\sb{s\to +\infty}g(s)/s\sp{\ell}\le 0,\quad \ell =(N+2)/(N-2)$ und $(3)\quad G(\zeta)=\int\sp{\zeta}\sb{0}g(s)ds>0$ für ein $\zeta >0.$ Betrachtet wird das Problem $$ (*)\quad -\Delta u=g(u)\quad in\quad {\bbfR}\sp N,\quad u\in H\sp 1({\bbfR}\sp N),\quad u\not\equiv 0. $$ Als Hauptresultat der Arbeit wird gezeigt, daß dieses Problem eine unendliche Folge von verschiedenen Lösungen $(u\sb k)\sb{k\ge 1}$ mit den folgenden Eigenschaften besitzt: (a) $u\sb k$ ist radialsymmetrisch und gehört zur Klasse $C\sp 2({\bbfR}\sp N)$. (b) Es gibt Konstanten $C\sb k$, $\delta\sb k>0$ mit $(4)\quad \vert D\sp{\alpha}u\sb k(x)\vert \le C\sb ke\sp{-\delta\sb k\vert x\vert},$ $x\in {\bbfR}\sp N$ $(\vert \alpha \vert =0,1,2;\quad k\ge 1).$ (c) Es gilt $(5)\quad \lim\sb{k\to \infty}S(u\sb k)=+\infty.$ Dabei ist $(6)\quad S(u)=\int\sb{{\bbfR}\sp N}\vert \nabla u\vert\sp 2dx-\int\sb{{\bbfR}\sp N}G(u)dx.$ Der Beweis beruht auf einer scharfsinnigen Anwendung funktionalanalytischer Minimaxprinzipien.
Reviewer: E.Heinz

35J60Nonlinear elliptic equations
35J20Second order elliptic equations, variational methods
35A05General existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000)