Statistica: un’introduzione all’impostazione neo-bayesiana. (Italian) Zbl 0556.62003

Daboni, Luciano; Wedlin, Attilio

Torino: UTET. VII, 278 p. (1982).

Wie aus dem Vorwort hervorgeht, ist dieses Werk de Finetti gewidmet und die Darstellung orientiert sich weitgehend an dessen Arbeiten. Dem Begriff der austauschbaren stochastischen Variablen wird demgemäß großes Augenmerk zugewendet. So sind die Ausführungen im Anhang I (Anfangsgründe der maßtheoretischen Wahrscheinlichkeitstheorie), Anhang II (bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilungen) und Anhang III (Einführung in die Martingaltheorie) im wesentlichen auf den im Anhang IV dargestellten martingaltheoretischen Beweis des bekannten Theorems über symmetrische Verteilungen von B. de Finetti [Ann. Inst. Henri Poincaré 7, 1-68 (1937; Zbl 0017.07602)] ausgerichtet, wie er in P. A. Meyer, Probability and potentials. (1966; Zbl 0138.104) dargeboten wird.
Im 6. Kapitel (Entscheidungstheoretische Behandlung der Probleme der statistischen Schlußweisen) wird ebenfalls kurz auf den Anhang I Bezug genommen, während im übrigen ein mehr intuitiver Begriff einer zufälligen Variablen verwendet wird. Allerdings widmet sich das 1. Kapitel (ohne Bezugnahme auf die Maßtheorie) grundlegenden Definitionen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie (Gesetz der großen Zahlen, Pfade eines stochastischen Prozesses mit diskretem Parameter, Verträglichkeitstheorem von Kolmogorov).
Das 2. Kapitel beschäftigt sich mit Folgen austauschbarer zufälliger Variabler, vor allem vom Bernoulli-Typ. Das erwähnte Theorem von de Finetti läßt sich dann auf das Hausdorff-Momentenproblem zurückführen. Die Ausführungen im 3. Kapitel (Einführung in die statistischen Schlußweisen) sind von der ”Philosophie” her von de Finetti geprägt [vgl. etwa B. de Finetti, Teoria delle Probabilità: Sintesi introduttiva con appendice critica, Vol. I, II, Giulio Einaudi (1970)].
Das Maximum Likelihood (ML)-Prinzip und erschöpfende Transformationen machen den Inhalt des folgenden Kapitels aus. Die asymptotische Normalverteilung des ML-Schätzers unter Standardbedingungen wird angedeutet. Die Andeutung eines Beweises des Fisher-Neyman Faktorisationskriteriums ist in dieser Form nicht haltbar. Es wird jedoch auf die grundlegende Arbeit von P. R. Halmos und L. J. Savage, Ann. Math. Stat. 20, 225-241 (1949; Zbl 0034.075) hingewiesen. Für die im Text vertretene Bayes’sche Auffassung vgl. die präzise Darstellung von G. Letta, Riv. Mat. Sci. Econ. Soc. 4, 13-28 (1981; Zbl 0516.62009).
Das 5. Kapitel führt in die Regressionstheorie ein. Im Rahmen der hier vorgelegten Bayes’schen Version dieser Theorie wird auch der Stellenwert der Methode der kleinsten Quadrate gestreift. Im 6. Kapitel werden grundlegende Begriffe der Entscheidungstheorie, Nutzenfunktion, Preferenzordnung eingeführt. Im Zusammenhang mit dem letztgenannten Begriff werden Resultate von B. de Finetti, G. Ist. Ital. Attuari 2, 369-396 (1931; Zbl 0002.27802) über assoziative Mittelbildungen herangezogen, die ihrerseits auf A. N. Kolmogorov, Sur la notion de moyenne. Atti Rend. Acad. Naz. Lincei 12, 388-391 (1930) und M. Nagumo, Über eine Klasse der Mittelwerte. Japan J. Math. 7, 71-79 (1930) beruhen. Der Inhalt dieser 3 Arbeiten ist weitgehend identisch mit Anhang VI. Das 6. Kapitel enthält keine Existenzaussagen. Ein kurzer Abschnitt über Sequentialverfahren beruft sich auf D. V. Lindley und B. N. Barnett, Biometrika 52, 507-532 (1965; Zbl 0136.394). Das letzte Kapitel handelt von partiell austauschbaren Variablen. Wir verweisen diesbezüglich auf B. de Finetti, Sur la condition d”’équivalence partielle”, in: B. de Finetti, N. Glivenko und G. Neyman, Conceptions diverses, 5-18 (1938; Zbl 0022.24302) oder (in englischer Sprache) Probability, induction and statistics. The art of guessing. (1972; Zbl 0275.60001). Im Umkreis dieser Ideen liegt auch der Inhalt des Anhanges VII.
Zusammenfassender Eindruck: Als negativ erscheint nur eine gewisse Heterogenität der Darstellung. In positiver Hinsicht müssen die vielen Beispiele erwähnt werden, welche die Lektüre beleben. Überdies wird manches gebracht, was nicht leicht in zusammenfassender Form gefunden werden kann.
Mir sind einige Druckfehler aufgefallen: S.5 fehlt in der ersten Formelzeile ein P. S.38 12.z.v.o. lies \(\left( \begin{matrix} N\\ H\end{matrix} \right)\) statt \(\left( \begin{matrix} N\\ h\end{matrix} \right)\); S.142(13) wird für 2 verschiedene Integrationen dieselbe Integrationsvariable verwendet. S.143(16) lies \(\phi_ 2z_ h\) statt \(\phi_ 2y_ h\); S.251,8.Z.v.o. lies \(T_ r^{\infty}\). S.254, erste Zeile lies 1/m! statt 1/m; S.264(2) lies \(F_ 1(x)\leq F_ 2(x)\) statt \(F_ 1(x)\geq F_ 2(x)\).

Reviewer: L.Schmetterer

MSC:

62-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to statistics
62F15	Bayesian inference
62A01	Foundations and philosophical topics in statistics
62-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to statistics
62C05	General considerations in statistical decision theory
62C10	Bayesian problems; characterization of Bayes procedures
60A05	Axioms; other general questions in probability
60G09	Exchangeability for stochastic processes

Keywords:

neo-Bayesian approach; sufficiency; symmetric distributions; conditional distributions; martingales; Hausdorff moments problem; maximum likelihood principle; Fisher-Neyman factorization; regression; least squares; associative means; examples; sequential procedures; partial exchangeability

Citations:

Zbl 0017.07602; Zbl 0138.104; Zbl 0034.075; Zbl 0516.62009; Zbl 0002.27802; Zbl 0136.394; Zbl 0022.24302; Zbl 0275.60001