Regularité Gevrey 3 pour la diffraction. (French) Zbl 0559.35019

Lebeau, G.

Commun. Partial Differ. Equations 9, 1437-1494 (1984).

Dans ce travail, l’A. démontre un important résultat sur la régularité Gevrey (avec indice critique) d’un problème aux limites pour un opérateur linéaire à coefficients analytiques du 2ème ordre: pour être précis l’opérateur est de la forme: \(P=\partial^ 2/\partial t^ 2+R(t,x,\partial /i\partial x),\) dans \({\mathbb{R}}^ N_ x\times {\mathbb{R}}_ t\) dont le symbole principal sera noté p.
On s’intéresse du spectre singulier \((C^{\infty}\), analytique ou Gevrey) d’une distribution u telle que \(Pu=0\) dans \(t>0\), \(u|_{t=0}=0\), \(wF(u)\cap \{\exp sH_ p(x_ 0,\quad t=0,\quad \xi =0,\quad \tau =0),\quad s<0\}=\phi.\) Il est supposé que le problème posé est diffractif. Il était connu que dans le \(C^{\infty}\), alors \((x_ 0,\xi_ 0)\not\in wF(\partial u/\partial t|_{t=0})\) et que par contre dans le Gevrey d’indice strictement plus petit que 3, un tel résultat est faux.
L’A. montre ici que le résultat est vrai dans le cas du spectre singulier Gevrey d’indice supérieur ou égal à 3. Dans sa démonstration l’A. utilise des techniques ”à la Sjostrand” et la notion de 2e microlocalisation et construit soigneusement des solutions asymptotiques. L’article est particulièrement technique et précis.

Reviewer: M.Derridj

MSC:

35H10	Hypoelliptic equations
35B65	Smoothness and regularity of solutions to PDEs

Keywords:

Gevrey regularity; singular spectrum; diffractive problem; second microlocalization

References:

[1]	L. Boutet de Monvel: Séminare ”opérateurs pseduo différentiels analytiques”. CRENOBLE 1975.
[2]	Friedlander F.G, II. Math.Proc.Camb.Phil.Soc 81 (1977)
[3]	L.Hormander ”The analysis of Linear partial differential operators” Springer. I, II, III.
[4]	M.E.Taylor ”Grazing Rays .” C.P.A.M. (29) 1976. · Zbl 0335.35059
[5]	Kashiwara M, Proc. ”Les Houches” 126 (1979)
[6]	G.Lebeau: ”Deuxiéme microlocalisation sur les sous variétés isotropes” Thése Paris VI. (1983) et exposé n{\(\deg\)} 15. Seminaire Goulaouic – Schwartz (1982–1983).
[7]	Melrose R.B, Duke. Math. Journal 42 (1975)
[8]	Schapira P, Ann Scien E. NS (1981)
[9]	Sjostrand J, Astérisque 95 (1982)
[10]	Sjostrand J, C.P.D.E 5 (1) (1980)
[11]	Schapira P, Publi. R.I.M.S. Kyoto Univ. 12 (1977)