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From i\(\circ\) to the \(3+1\) description of spatial infinity. (English) Zbl 0559.53044

Um für isolierte physikalische Systeme deren Energie, Impuls und Drehimpuls definieren zu können, führte A. Ashtekar den Spi- Formalismus (vgl. [A. Held (ed.) General Relativity and Gravitation (1980; Zbl 0537.00011)] ein: Eine Raum-Zeit \((M,g_{ab})\) heißt im räumlich Unendlichen asymptotisch leer und flach, wenn eine Raum-Zeit \((\hat M,\hat g_{ab})\) existiert, die überall \(C^{\infty}\) ist außer in einem Punkt \(i\circ\); dort ist \(\hat g_{ab}\) von der Klasse \(C^{>0}\). Außerdem existiere eine Einbettung \(M\to \hat M\) mit den folgenden Eigenschaften: (1) \(\hat M-M\) ist der Abschluß des Bereichs in \((\hat M,\hat g_{ab})\), der mit \(i\circ\) kausal verbunden ist. (2) Es existiert eine \(C^{>2}\)-Funktion \(\hat M\to {\mathbb{R}}\), die auf \(\hat M-\{i\circ\}\) sogar \(C^{\infty}\) ist und auf M: \(\hat g_{ab}=\Omega^ 2g_{ab}\) erfüllt. Ferner gilt \(\Omega (i\circ)=0\); \({\hat \nabla}_ a\Omega (i\circ)=0\) und \({\hat \nabla}_ a{\hat \nabla}_ b\Omega (i\circ)=2\hat g_{ab}(i\circ)\). (3) Der Ricci-Tensor \(R_{ab}\) von \(g_{ab}\) besitzt einen regulären (richtungsabhängigen) Grenzwert in \(i\circ\). - Aus (1) folgt unmittelbar, daß \(i\circ\) zu allen Punkten von M raumartig liegt. Aufgrund der Differenzierbarkeitsforderungen an \(\hat g_{ab}\) existieren die (richtungsabhängigen) Grenzwerte \(\lim_{x\to i\circ}\Omega^{1/2}\cdot \hat C\) des Weyl-Tensors \(\hat C;\) sie gestatten die Definition von Energie und Impuls und - unter zusätzlichen Annahmen - auch die Definition des Drehimpulses.
In der referierten Arbeit wird gezeigt, daß die so definierten Impulse und Energien mit den Ausdrücken von Arnowitt, Deser und Misner [L. Witten (Hrsg.): Gravitation: An introduction to current research (1962; Zbl 0115.43103)] übereinstimmen. Auch der Drehimpuls läßt sich vollständig durch die von Arnowitt, Deser und Misner eingeführten Cauchy-Daten beschreiben. Schließlich wird die geometrische Bedeutung der Zusatzbedingung diskutiert, die für die Definition des Drehimpulses benötigt wird.
Reviewer: K.Buchner

MSC:

53C50 Global differential geometry of Lorentz manifolds, manifolds with indefinite metrics
53C80 Applications of global differential geometry to the sciences
83C30 Asymptotic procedures (radiation, news functions, \(\mathcal{H} \)-spaces, etc.) in general relativity and gravitational theory
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References:

[1] DOI: 10.1103/PhysRev.121.1556 · Zbl 0096.22102
[2] DOI: 10.1103/PhysRev.121.1556 · Zbl 0096.22102
[3] DOI: 10.1103/PhysRev.121.1556 · Zbl 0096.22102
[4] DOI: 10.1103/PhysRev.121.1556 · Zbl 0096.22102
[5] DOI: 10.1063/1.523863
[6] DOI: 10.1063/1.522793
[7] DOI: 10.1063/1.522793
[8] DOI: 10.1063/1.525274 · Zbl 0503.53025
[9] DOI: 10.1063/1.525274 · Zbl 0503.53025
[10] DOI: 10.1063/1.524151
[11] DOI: 10.1063/1.525169
[12] DOI: 10.1098/rspa.1982.0058
[13] DOI: 10.1098/rspa.1983.0127
[14] DOI: 10.1016/0370-2693(83)90585-3
[15] DOI: 10.1007/BF01213014 · Zbl 0477.35081
[16] DOI: 10.1007/BF01213014 · Zbl 0477.35081
[17] DOI: 10.1063/1.1666094
[18] DOI: 10.1063/1.523864 · Zbl 0443.53047
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