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Hypersurfaces in \({\mathbb{R}}^{n+1}\) with prescribed Gaussian curvature and related equations of Monge-Ampère type. (English) Zbl 0559.58031
Soit (r,u) un système de coordonneés polaires pour \(R^{n+1}\). Etant donneé une fonction strictement positive \(K(u,r)\in C^ m(S_ n\times R^+),l'A\). étudie le problème suivant: existe-t-il un ensemble convexe borné, contenant l’origine 0, dont le bord F (d’equation \(r=\rho (u))\) admet comme courbure de Gauss K(u,\(\rho\) (u)). Sous les conditions suivantes 1) \(m\geq 3\), 2) il existe deux reels \(0<R_ 1\leq 1\leq R_ 2<\infty\) tels que \(K(x)>| x|^{-n}\) lorsque \(| x| <R_ 1\) et \(K(x)<| x|^{-n}\) lorsque \(| x| >R_ 2\), 3) \(\partial_{\rho}[\rho^ nK(u,\rho)]\leq 0\) pour \(\rho \in [R_ 1,R_ 2]\), l’A. montre qu’ il existe une hypersurface d’équation \(r=\rho (u)\in C^{m+1,\alpha}(S_ n)\) pour tout \(\alpha\in]0,1[\) dont la courbure de Gauss est K(u,\(\rho\) (u)). F est située entre les deux sphères de centre 0 et de rayon \(R_ 1\) et \(R_ 2\) et est unique (à une homothetie près s’il existe plusieurs solutions). -
”’L’A. ramène la démonstration à l’étude d’une équation du type Monge-Ampère sur \(S_ n\) \((E):M(\rho)=K(u,\rho)\). En posant \(h=1/\rho\) l’équation devient \(\det (\nabla_{ij}h+he_{ij})/\det (e_{ij})=(h^ 2+| \nabla h|^ 2)^{1+n/2}K(u,1/h)h^{-2- n},\) \(e_{ij}\) étant la métrique de la sphère. L’A. utilise la méthode de continuité, il considère la famille d’équations \[ (E_ t): M(\rho)=K_ t(u,\rho)=tk(u,\rho)+(1-t)\rho^{-n- \epsilon},\quad t\in [0,1],\quad \epsilon >0. \] 2) entraine \(R_ 1\leq \rho \leq R_ 2\); l’estimé \(C^ 1\) provient du fait que \(\nabla_{ij}h+he_{ij}\) est défini positif suivant une ideé de Delanoë; l’estimé \(C^ 2\) est obtenue en adaptant la methode de Pogorelov; quant à l’estimé \(C^ 3\) elle provient d’un calcul de Calabi.
L’hypothèse 3) permet de prouver que l’ensemble I des \(t\in [0,1]\) pour lesquels \((E_ t)\) a une solution est un ouvert et les estimés a priori permettent de montrer que I est fermé. Comme I n’est pas vide car \(M(1)=K_ 0(u,1)\), (E) a une solution. D’après (3) s’il y a plusieurs solutions elles sont homothetiques. L’A. donne enfin des exemples de fonctions K ne satisfaisant pas à (2) ou (3) et pour lesquels (E) n’a pas de solution ou en admet une infinité non homothetiques.
Reviewer: T.Aubin

MSC:
58J99 Partial differential equations on manifolds; differential operators
35Q99 Partial differential equations of mathematical physics and other areas of application
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