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Introduction à l’analyse numérique des équations aux dérivées partielles. (French) Zbl 0561.65069

Collection Mathématiques Appliquées pour la Maîtrise. Paris etc.: Masson. 224 p. (1983).
Le but de cet ouvrage est de servir d’introduction à la théorie des équations aux dérivées partielles intervenant dans les applications et aux méthodes d’approximation numérique adaptées à l’emploi des ordinateurs. Dans le cadre nécessairement limité de ce livre, nous nous sommes bien entendu restreints aux problèmes linéaires et parmi ceux-ci aux problèmes elliptiques, paraboliques et hyperboliques du type des ondes pour lesquels nous avons adopté une présentation unifiée. Nous avons par contre laissé de côté l’étude des équations et des systèmes hyperboliques du \(1^{er}\) ordre malgré leur importance dans les applications; leur traitement tant théorique que numérique nous a paru en effet un peu délicat au niveau de ce traité relativement élémentaire. En ce qui concerne les méthodes d’approximation numérique nous avons centré notre exposé sur la méthode des éléments finis qui a été introduite par les Ingénieurs au début des années 50 pour les besoins du calcul de structures et qui a été progressivement reconnue comme une méthode générale d’approximation des équations aux dérivées partielles. Cette méthode est la base de puissants codes numériques universellement utilisés. Nous n’avons fait qu’évoquer la méthode plus ancienne et plus classique des différences finies en montrant comment elle peut s’obtenir à partir de la méthode des éléments finis. De même, nous nous sommes résignés à passer sous silence les méthodes spectrales qui jouent un rôle croissant dans un certain nombre d’applications. En effet, il ne nous était pas possible dans cet ouvrage introductif de donner un panorama suffisamment complet de l’Analyse Numérique des équations aux dérivées partielles; nous avons donc choisi de privilégier la méthode des éléments finis qui nous apparaît comme étant la méthode d’approximation la plus riche en généralité et en possibilités. Par manque de place, nous avons dû renoncer à évoquer de manière précise les problèmes fondamentaux de la mise en oeuvre sur ordinateur de la méthode des éléments finis.

MSC:

65Nxx Numerical methods for partial differential equations, boundary value problems
65-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to numerical analysis
35J25 Boundary value problems for second-order elliptic equations
35K20 Initial-boundary value problems for second-order parabolic equations
35G10 Initial value problems for linear higher-order PDEs
35K25 Higher-order parabolic equations
35L20 Initial-boundary value problems for second-order hyperbolic equations